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漸化式の変形
画像の下線部の変換が、なぜそうなるのか教えていただきたいです。直前までは理解しています。
追記
上の下線部がnが1シフトして、下の下線部になったと思うのですが、なぜ1シフトしてよいのか？わかりません。
回答
A(k)の漸化式において、kにnを代入すると、A(n+1)=A(n)(a+n)(b+n)/(c+n)(1+n).
∴A(n)(a+n)(b+n)=(c+n)(1+n)A(n+1)…①
[(a+D)(b+D)-(c+D)(1+D)/x]u=0より、(a+D)(b+D)u=(c+D)(1+D)u/x.
u=x^nのとき、(a+n)(b+n)x^n=(c+n-1)(1+n-1)x^n-1…②
①②から、(c+n-1)(1+n-1)A(n)x^n-1=A(n)(a+n)(b+n)x^n=(c+n)(1+n)A(n+1)x^n.