面積分

写真の(2)の面積分を求めたいのですが、 $$x^2√(1-x^2)$$の積分ができません。 √(1-x^2)は半径1の半円の面積だから左の部分さえ消えてくれれば計算できそうなのですが、途中で計算ミスしているのか、計算方法があるのか教えて欲しいです。 解答がなくて困ってます。 よろしくお願いいたします。

こんにちは。 $\iint_D ({x_1}^2 + {x_2}^2 + x_1 x_2) \ dx_1 dx_2$ の時点で極座標変換した方が計算が楽だとは思いますが、あなたの方針でも解くことは可能です。$x^2 \sqrt{1-x^2}$ の積分は $x=\sin \theta$ と置換すれば計算できます。具体的には、 $$ \int_{-1}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} \ dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \sqrt{1-\sin^2\theta} \cdot \cos \theta \ d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta \cos \theta)^2 \ d\theta $$ となりますが $(\sin\theta \cos \theta)^2$ は倍角の公式を使えば積分が計算できる形です。