無限級数の求め方について

「無限級数を求めるにはまず部分和を求めてその極限を とる」と、どんな本にも書いていますが、わかったようでよくわかりません。 最近読んだ本にも同様の説明が書いてあったのですが、 添付画像のように、“n項までの和をつくると 新しい数列 S1, S2, S3....Snを得る”、となっており、 余計にわからなくなりました。なぜ新しい数列が できるのでしょうか？意味がさっぱりわかりません。 「部分和の極限」とは一体どう捉えれば良いのでしょうか？ 証明はできるのでしょうか？ どうぞよろしくお願いいたします。

1 X さん、こんにちは。お久しぶりですね！ まず、数列 $\{S_n\}$ についてですが、これは言葉の使い方が不親切なのかもしれませんね。 「新しい数列 $\{S_n\}$ を得る」なんて書かれてますが、ただ「新しい数列 $\{S_n\}$ を考えてみれば」というだけです。 ｎを増やしていけば $S_1,S_2,S_3\cdots$ という値が次々得られますので、それらを並べて考えて一つの数列と見る、ということです。ま「得られる」と言えないこともないですが（笑）。 で、あとは無限級数の和についてですが、あなたがどこまで納得できていて、どこが説明が必要なのかはっきりわかりません。 そもそも足し算は、有限個の数の足し算なら和が得られますが、無限個であってはいつまでたっても計算が終了しないので、いわゆる和というものは存在しません。存在しないものを作ろうとしますので、新しい定義が必要になってきますね。 よくある例ですが、無限級数１－１＋１－１＋…というのがありますが、これはいつまでたっても値が振動してしまいますので和は定義できません。それを無理やり「和が存在していて、それをｘとする。ｘ＝１－１＋１－１＋…＝１－（１－１＋１…）＝１ーｘ。これよりｘ＝1/2」とかいう論法をお聞きになったこともあるかと思いますが、勝手に和が存在すると決めつけると、非常識な結果が得られてしまいます。そこできちんと定義をしたのが「部分和 $S_n$ が収束するとき、それを無限級数の和と定義しようじゃないか！」です。これなら無限級数１－１＋１－１＋…の和は、部分和が振動して収束しないので和は存在しないといえるし、1+1/2+1/4+1/8+…という無限級数も、永久に計算は終わらないけれど、部分和が２に収束するから、1+1/2+1/4+1/8+…＝２としてもいいんじゃないか。ほんとは＝ではないけれど。正しくは→なんだけど、 $\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n$ は $\lim S_n=2$ というふうに「極限値は」の「は」を「＝」にしたように、 $\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n=2$ というふうに書こう、と決めましたとさ。 こんな感じです。あとは、あなたがどこが納得していないかを示してください。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。お待ちしています。