面積分の範囲

円錐面$$z^2=x^2+y^2$$ と平面$$z=1$$ で囲まれる立体Vの表面としてベクトル関数 $$f(x,y,z)=(xz,yz,z^2)$$について面積分の値を求めよ。 立体の範囲が分かりません。 何をしても回答がπになりません。 x,y,zの範囲の考え方を教えてください。 左の回答は答えを求めるためのものなので、気にしないでください。 よろしくお願い致します。

こんにちは。座標変換を使わずに体積分を求めたいということでしょうか。 あなたのノートでは $z$ の範囲を $x$ と $y$ で表そうとしていますが、円錐は半径が徐々に大きくなる円が積み重なってできる立体ですので、先に $z$ を固定した方が分かりやすいと思います。円錐 $V$ を平面 $z=t$ で切ってできる断面を $C(t)$ とすると、 $$\int_V 4z \ dV = \int_{z=0}^1 \int_{C(z)} 4z \ dx dy dz = \int_{z=0}^1 4z \left( \int_{C(z)} dx dy \right) dz$$ となります。$C(z)$ が半径 $z$ の円であることから、$x$ や $y$ の範囲が分かりますが、$\int_{C(z)} dx dy$ は $C(z)$ の面積を表しますので、$x$ や $y$ の範囲を明示することなく、計算を楽に進めることができます。 もし、あなたの方針のまま解くのであれば、$z=\pm \sqrt{x^2+y^2}$ のうち、立体 $V$ 上の点であるのは $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ですので、正しい $z$ の範囲は $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1$ です。また、$2-2(x^2+y^2)$ を $y$ で積分するときに計算ミスをしています。