半順序集合の問題について

この問題の(2)の解き方が分かりません。 自分の考えとしては、最大元は、kn=mについて、全ての自然数(この問題では0を含む。)をnに代入してもこの式が成り立つmを探せば良いと考えました。実際m=0とすると全ての自然数nで式が成り立つ。またn=0としたとき、mは存在してないので、最大元は0だと思いました。またその逆の考え方を用いて最小元は1だと考えました。 この考え方は合ってますか？

あなたの考え方で概ねよいと思われますが、「厳密な説明か」と言われればやや不安でしょう。厳密な説明をするには、定義を使って説明する必要があります。厳密な説明を書く前に、記号や条件の確認を書いておきます。前後の都合により、読み間違えている場合は修正してください。 ※記号や条件の確認：①n◁mは、「mはnの上位である」と使われている。②自然数の集合Nは、{0,1,2,…}と定義されている。 【説明】 ●0が最大元であること 任意のn∈Nに対し、k=0とすれば、kn=0となるので、n◁0. また、0より上位の元が存在したと仮定する。これをmとすると、どんなk∈Nをとっても、k0=0となり、m=0. 以上から、0はNの最大元である。 ●1が最小元であること 任意のm∈Nに対し、k=mとすれば、k1=mとなるので、1◁m. また、1より下位の元が存在したと仮定する。これをnとすると、kn=1. 1以外のkでは、n=1/kがn∈Nとならないので、k=1.　∴n=1. 以上から、1は最小元である。 【蛇足】 ②の条件を、「自然数の集合Nは、{1,2,…}と定義されている。」に変更すれば、最大元は存在しない。(極大元も)