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極限の求め方
画像の極限の求め方が分かりません。
ロピタルの定理を3回ほど繰り返し用いると1/2に収束することは分かるのですが、
なんとか高校範囲で解けないでしょうか。
回答宜しくお願いします。
回答
こんにちは。東工大の問題は確認していませんが、画像の極限を高校範囲で解くとすれば次のようになるかと思います。
$f(x)=\dfrac{e^x-1-x}{x}, \ g(x)=\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ とおくと画像の式は、
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\log{\dfrac{e^x-1}{x}}}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\log(1+f(x))}{f(x)} \cdot g(x)$$
と変形できます。
ネイピア数の定義より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0$ が得られるため、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\log(1+f(x))}{f(x)} = 1$ と分かります。
$g(x)$ の分子は定積分を用いて $\displaystyle e^x-1-x=\int_0^x \left( \int_0^v e^u \ du \right) dv$ と表すことができます。定積分が面積を求める演算であることを考えると、被積分関数が大きければ大きいほど積分結果は大きくなるため、$0<x$ のとき、
$$\dfrac{1}{x^2}\int_0^x \left( \int_0^v e^0 \ du \right) dv
\leqq g(x)
\leqq \dfrac{1}{x^2}\int_0^x \left( \int_0^v e^x \ du \right) dv$$
が成り立ちます。はさみうちの原理を適用すると $\displaystyle \lim_{x \to +0} g(x) = \dfrac{1}{2}$ が得られます。$x<0$ のときも同様に考えると $\displaystyle \lim_{x \to -0} g(x) = \dfrac{1}{2}$ が得られます。
理解できました。 高校範囲で本当に解けるんですね！ ありがとうございました！
この問題は高校数学の中で出題されているのですか？
この問題自体が高校数学の中で出題されている訳ではないです。 経緯を話しますと、 東工大2014年第２問（ 2）で自分が解こうとした時に 与えられた式を変形して、1/a=の形に定数分離して 右辺の関数のとり得る値を吟味しようとしたのですが、どうしてもその０側極限が求められず質問に至りました。 因みに、その右辺の関数が画像の極限の式になります。
問題の方を見てみました。確かにその極限を調べなくてはならないようですね。しかし、私ならそこまで行ったら、a、これは変数分離では大変なんだ、と判断して変数分離からは撤退するでしょう。このような、分離したい定数は指数の中にあって、対数をとらないと分離できないときはあまりお勧めの方法ではないですね。 ただ、申し訳ないですが、この極限を高校数学の方法で求められるのか否かはわかりません。他の回答者の回答を待ってみては。
何度か微分すればこの関数自体は単調増加であるとも分かり、無限大の極限もすぐに求まるので、あと一歩のところ、という気はしていたのですが、アプローチ一つでこんなにも解けなくなるんですね。 変数分離を選択すべきか否かについて、一つ勉強になりました。 回答ありがとうございました！