数学III-関数の極限

新課程黄色チャート数学III+C、Practice37について質問させていただきます。 問題文：「関数$\frac{x}{(x-1)^2}$について $x→1-0, x→1+0, x→1$のときの極限をそれぞれ調べよ。」 解答を書こうとしたのですが、分母が二乗されていて、場合分けの仕方が分かりませんでした。 そこで模範解答を見ると、下の写真のようにありました。しかしどうしてこのように場合分けされているのか、その理由が書いていなくて、根本的な部分が分かりません💦 どなたか、このように場合分けする理由を教えてください。

Arcanum Aemilia さん、こんにちは。1カ月ぶりですね。 さて、この解答は場合分けというのではないと思います。 問題が３つ（初めの２つが重要ですが）あるので、そのそれぞれについて解答を書いたというだけです。 まずｘ→１－０を答えたのが初めの２行です。ｘ→１－０というのはどういう状態かというと「１よりちょび～っとだけ小さい」状態ですので、ｘ＜１でもいいのですか、１よりだいぶ小さくなって負になってしまうまで考えてしまうと符号が変わってしまうのでそれは避けたい。だから０＜ｘも付ける。よってｘ→１－０のときの極限を調べるのは０＜ｘ＜１の範囲で考えてもらおう。この範囲でｘが１よりほんの少～しだけ小さいときのことを言えばいい間違いない。というわけで「０＜ｘ＜１のとき」などと場合分けのような書き方になってしまったのですね。 ｘ→１＋０のほうはｘが１よりごくわずか大きい状態を考えますが、この関数ではｘが１よりいくら大きくなっても議論の上ではｘの符号は変わらないので、ま、ｘ＞１でいいだろう、と考えたのでしょう。だからこれも場合分けのような「ｘ＞１のとき」などと書いていますね。１＜ｘ＜２でも１＜ｘ＜１．１でもいいのですがね。 「ｘ→１－０のとき、０＜ｘ＜１だから…」と書けば分かりやすいし誤解を招かなかったでしょうにね。これだって０．９＜ｘ＜１のとき、と書いたっていいのです。 以上、場合分けをしているのではなく、「→のようなときはｘはどんな値なのか」を言っているのです。 これで大丈夫ですか？以前のようにコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。