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NBGにおける集合の定義について
ZFにおいて、任意の集合は分出公理を満たしますが、NBGにおいて、$D \in C$を満たすようなクラス$C$が存在するならば、$D$は集合であると**仮定すると**、分出公理が無矛盾に成立する(つまり、$D$の任意の部分集合($D$と任意のクラスの共分であるようなあるクラス)は分出公理を満たし、かつあるクラスの元だから、$D$は集合である)のでしょうか。それとも、そのように定義されているのでしょうか。クラスにおける制限された内包公理: $\forall C \forall \exist D(C \in D \iff (P(C) \land \exist E(C \in E)))$はクラスの類はクラスであるという主張にしか見えないのですが。
参考: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86#NBG%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%84%E3%81%A6
回答
あなたの文章表記では、∀C∀∃D(C∈D)も∃E(C∈E)も、仮定よりCは集合です。※D,Eはクラス
クラスにおける制限された内包公理におけるCは文字通りEによる制限を受けているから、P(C) = C \notin Cのような任意の論理式において矛盾が生じない。つまり、ONのような真のクラスCにおいてC \in Dを満たすようなDないしEは存在しないということでしょうか
クラスの存在定理を理解していませんでした。Pという述語は集合は量化できるが、クラスは常に自由変項であるため、Cは必然的に集合であるということですね。