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積分
これをu= (x-1)/√(x^2-1)の置換で解いて欲しいです。他の置換ではうまくいったのですが、これが一生できません。お願いいたします。
回答
※アークタンジェントを使うので、大学の微積分の範囲になります。
u=(x-1)/√(x^2-1)=√(x-1)^2/(x-1)(x+1)=√(x-1)/(x+1).
両辺を2乗して、u^2=(x-1)/(x+1).
これをxについて解くと、x=(u^2+1)/(1-u^2)…①
∴dx/du=4u/(1-u^2)^2…② ※この微分は自力でやってください。
1/√(x^2-1)=u/(x-1). これにx=(u^2+1)/(1-u^2)を代入すると、
1/√(x^2-1)=(1-u^2)/2u…③ ※この計算は自力でやってください。
①、②、③より、
∫1/x√(x^2-1) dx=∫2/(u^2+1) du. ※この式変形は自力でやってください。
∫2/(u^2+1) du=2Tan^(-1) u+Cだから、
∫1/x√(x^2-1) dx=2Tan^(-1) (x-1)/√(x^2-1) +C.
【蛇足】
置換の仕方を√(x^2-1)=t-xとしても求めることができる。この場合、
∫1/x√(x^2-1) dx=2Tan^(-1) {√(x^2-1)+x} +C
となる。一見すると、上の答えと違うように見えるが、微分すると同じ式になる。
どうもありがとうございました。
こちらからお聞きしたいのですが、その置換はどういう発想から得られたのですか？ 置換積分は、楽に積分するためにやるもので、その置換をしたら積分できないんじゃあまり意味ないですが。
問題の指示です。確かに最善手は1/cosxとかだと思うのですが、あくまで計算力を求めているのだと思います。
え！問題に、そのように置換せよとあるのですか！あれこれやりましたがうまくいきません。
めんどくさい問題ですよね笑ご協力いただきありがとうございました。