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場合の数
サイコロを N 回投げた時 6以外の全ての目が出る場合の数はいくつか
ただし5≦Nとする。また何回目で何が出たかは区別して考える。
答えは
nP5✖5^(n-5)と思いますが自信がありません 合っていますかね
回答
※2007神戸大・文理(後)「サイコロの目が3種類になる確率」の考え方を参考にしてください。
※計算がややこしいので、ミスしていたら修正してください。
神戸大の問題から、ちょうど3種類になる場合の数は、20(3^n-3×2^n-3).
以下同様の考え方から、
ちょうど4種類になる場合の数は、15(4^n-4×3^n+6×2^n-4).
ちょうど5種類になる場合の数は、6(5^n-5×4^n+10×3^n-10×2^n+5).
ちょうど6種類になる場合の数は、6^n-6×5^n+15×4^n-20×3^n+15×2^n-6.
求める答えは、ちょうど6種類になる場合の数に、(1,2,3,4,5)の5種類になる場合の数を足せばよいから、
6^n-6×5^n+15×4^n-20×3^n+15×2^n-6+5^n-5×4^n+10×3^n-10×2^n+5=6^n-5×5^n+10×4^n-10×3^n+5×2^n-1.
これは、n=5のとき、120となり成り立つ。
∴6^n-5×5^n+10×4^n-10×3^n+5×2^n-1. (5≦n)
それが間違いであることは確かなのですが、まだ正解にたどりつけず、回答できません。間違いである理由は、ｎP5で、たとえば１番目に１が来たとします。そして5^(n-5)のなかに2番目にも１が来た場合を考えます。それとは別に1番目、2番目以外はすべて同じで、ｎP5で2番目に１がきて、5^(n-5)のなかに1番目に１が来た場合というのは別に数えられてしまいますが、出来上がった順列としては同じものなので2重に数えています。１が3回出てくるような順列だと同じ順列が3回も数えられてしまいます。よってその式では正解は得られません。
それとは別に1番目、2番目以外はすべて同じで→(訂正）それとは別に1番目、2番目以外は今上で考えた順列とすべて同じで
自分の解答が間違いである理由は分かりました。