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「数列の極限の性質」と「無限級数の極限の性質」の違いについて
回答
回答ありがとうございます。 写真1の方の分解というのは、2つ以上の式を分解するというよ、例えば lim[n→∞] (5n²-3n+4)/(6n-1) を考える時に、分子と分母の中身の極限をそれぞれ考えて、これは0に収束、これは-3に収束、これは正の無限大に発散、などと、それぞれについて考えているため、それは分解とは違うのでしょうか？といった感じです。 数列の極限の問題は、結局分数式や積(共通因数でくくる)ばかりなのは、分解できないからなのか？とも思いました。 多分うまく説明できてないと思うのですが、分解とそれの違いがよく分からないのです。さっきの例に出した極限は、収束をいちいち考えずに、式変形して極限を考えますよね？それは何でいいのだろうか。ということです。 まだ上手く言語化出来てないのですが、返信お待ちしております！
訂正です 3行目の よ、→より、です。
分解という言葉がちょっとあいまいなので、議論しにくいですが。 数列の和や積で作られている数列を、その構成要素の数列ごとに極限を考えることを、あなたは「分解」と言っているのだと解釈して書きましたが、違うのかな？無限級数の場合も同様で、数列の和や積で作られている無限級数を、その構成要素の数列ごとに無限級数を考えることかと理解したのですが。 いずれにしても「分解」して議論できるのは、有限に収束することが確認できてからの話で、それを確認していない状態で「分解」して議論してはいけないよ、と言いたいのです。 こういう問題は、なかなか文章で説明するのは難しいですね。 これでどうですか？
回答ありがとうございます。 lim[n→∞] (5n²-3n+4)/(6n-1)･･･Aとします Aを考える時に、分母分子をn²でわって、5つの項がそれぞれの収束･発散を考えて、 A=∞となります。 このとき、5つの項それぞれの収束･発散を考えるという行為は、分解(それぞれにlimを考える)ではなく、全体の中のパーツとして考えて良いということですか？ もし5つの項について収束･発散を考えるのが分解だとするなら、∞のとき(つまり発散)を考えるので、収束することを確認してから使う写真1の定理に反すると思いました。 つまり、Aを求めるときに、写真1の定理は使っておらず、それはまた別の話なのかということです。写真1の定理を使っているのならば、収束する時しか使えないはずなのに、∞になる項を考えているので、破綻しているのではないかと考えました。 よろしくお願いします🙏
再度訂正です 3行目、n²ではなく、nで割ります。。。
ふと思ったのですが、分かったかもしれないです。 僕は、多分1つの数列の一般項の中で更に考えることを分解と思っていたのかもしれないです。写真1の定理は、2つの数列の一般項の極限の話で、そのときはそれぞれ収束を確認しなければなりませんが、確かに1つの数列の一般項の極限は、その中のパーツ一つ一つに収束を確認する必要は無いですね。 混乱させて申しわけありません！1度寝て、頭を冷やします。でも、何となくわかってきた気がします！
はい、私も就寝時間なので…
ごちゃごちゃ書くと混乱を招くので、簡潔にします！ 一つ、lim[n→∞] (5n²-3n+4)/(6n-1) を考える時に、分母分子nで割るのは分かります。そこから、5つの項一つ一つの収束･発散を考えて、全体の収束･発散を考えますよね？その5つの項一つ一つの収束･発散を考える過程で、結局写真1の定理(∞と定数合わさると∞になるとかも含む)が使われてるのではないですか？
まずこれを知りたいです
はい、そうだと思います。各パーツの収束発散が明らかになるようにnで割るという工夫をしました。nで割ったあとなら、その定理が適用できますね。
ありがとうございます。僕もそう思います 。そう考えると合点が行きます。 そうすると、残す疑問はただ一つで、無限級数の性質の定理(写真2の定理)は、なぜanとbnが収束することを確認する旨を記述しないと減点対象にるのかということです。数列の極限では、いちいちそんなことせずに極限を求めます。自分の考えでは、無限級数は、あくまで数列の一般項のように直ぐに収束･発散が分からない(一般項から、級数の収束･発散を考えないといけない)から、収束することを記述しないと減点対象になるのかと思いました。そして、無限級数が発散するときは、僕がした別のページの質問の【anが0に収束しない⇒anの無限級数は発散する】という定理を使っていくのかなと思いました。今回の、写真2の定理は、あくまで両方収束するときが前提で、求める無限級数が収束するという、数列の極限の∞を考える時のようなことは含まない定理のかと思います。 長くなりましたが、かなり解決の糸口が見つかってきたと思います。ありがとうございます
もしかして、なにか返信下さったりしましたか？New！マークがついてたのですが、開いたら返信が無かったので、、、 勘違いならすみません
いえ、書いてませんよ。
遅れてすいません。 数日考えてみて、僕の結論は、無限級数は、数列の一般項のようにすぐに収束･発散が分からないから、収束すく旨を記述しなければならないのだと思います。 写真1の定理が、nで分母分子割れば使えることを確認してくれてありがとうございました！ 写真2のやつも、何となくわかった気がします
そういうことだと思います。了解です！
ご迷惑おかけしました💦 もしよろしければ、またお願い致します！