対数の計算

何をしているのかがわからないです、、 どういうふうに考えたらいいんですか？

百花さん、こんにちは。ちょっとお久しぶりですね。 対数の世界と指数の世界を行ったり来たりする分野ですね。けっこう多くの人がつまづく部分です。がんばりましょう。 さて、「何をしているのかがわからない、どういうふうに考えたら？」という質問は解答の焦点が絞りにくいです。 式の変形を順に追うことはできますか？なぜそんな変形ができるのかは大丈夫ですか。たぶん大丈夫だと思って先に進みます。 式の変形の発想がなかなか難しいかもしれません。簡単な式ならそのままでもできますが、この問題くらいになると、対数⇔指数を行き来する考えが必要になります。 絶対押さえておきたい考えは ①いろいろな底の対数が出てきたら、適当な数を底としてそろえる。 これは底の変換公式 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ が自由に使える必要がありますね。何を底にするかは自由で、たいていは何を邸にしても大丈夫です。問題に出てくる数を使うか１０にするかも自由ですよ。 ②４とか２５とか６とか出てきたら２²とか５²とか２×３だとかに分解して対数の真数や底を考えます。 ③Forcusにもありますが、$a^{\log_a b}=b$ という対数の意味、定義の式（ま、これもなかなか分かりにくいですね）を使いこなすこと。 （１）では指数のところに対数があります。③が使えそうです。でも５と２５が異なるのでそのままは使えません。そこで①をつかって底を５にしてやれば③が使えます。 まず $\log_{25} 3=\dfrac{\log _5 3}{\log_5 25}=\dfrac{1}{2}\log_5 3=\log_5 \sqrt{3}$ これで③が使えます。$5^{\log_5 \sqrt{3}}=\sqrt{3}$ です。 $4_{\log_2 a}$ の方は４を２にするよう変形します。底は小さい方がいいです。 ４＝２²だから $(2^2)^{\log_2 a}=2^{2\log_2 a}=2^{\log_2 a^2}$ あ、また③が使えます。$2^{\log_2 a^2}=a^2$ （２）は、初めの式の指数（の逆数）についての等式ですから、指数表示の対数をとれば指数部分を扱えるようになります。 底はなんでもいいので解答では１０にしていますが、私は２か３か５のどれかを使うほうが好きです。最後の計算がちょっと嫌ですがやるしかないですね。 （３）は、a，bが２を底とした対数だから、問題の方の対数も底を２にして変形しようと思ってください。2番目のほうは底が２なので、計算力の勝負です！ これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 ============================= 追記　2025/02/24　20:23～ コメント拝見しました。2カ所の→の部分は $\log_a x^y=y\log_a x$ ということですよ。ｙの部分がたまたま対数になっているだけです。 これで大丈夫ですか？