このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
球面三角における角の二等分線の性質
球面三角形において、一つの頂点の球面角から角の二等分線(円弧)をひいた時、その対辺となる円弧(及び中心角)の内分の比は、隣り合う球面三角形の辺(円弧)とどのような関係になっているのでしょうか？
平面三角形では△ABCとした時、三角形の頂点Aから出る角の二等分線と対辺BCの交点Pは、BCをAB：ACに内分するというのは理解していますが、
球面三角形においてはそれが成立せず、どのような比率の関係になるのか検討がつきません。
球面三角形の辺となる円弧を、弧長及び中心角や弦の長さで換算して比率を確認してみても、実際の比率と計算で得た比率が乖離します。
比率の関係の導出の仕方や考え方など、ご教授いただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
回答
ABCを球面三角形とし、辺BC、CA、ABの長さをa、b、cとする。
弧ABを含む大円が乗る平面と弧ACを含む大円が乗る平面のなす角をAとする。
同様に、B、Cも定義する。このとき、球面三角法の正弦定理が成り立つ。
(球面三角法の正弦定理) sin a/sin A=sin b/sin B=sin c/sin C.
【あなたの疑問に対する状況設定と説明】
上記のなす角Aを二等分するような平面により、球面上に円弧を作成し、その円弧と弧BCとの交点をDとする。
球面三角形ACDに対し、正弦定理から、sin CD/sin(A/2)=sin AD/sin C …①
球面三角形ABDに対し、正弦定理から、sin BD/sin(A/2)=sin AD/sin B …②
①、②から、sin CD:sin BD=(1/sin C):(1/sin B)=sin B:sin C=sin b:sin c. ※最後の等号は、ABCの正弦定理より。
以上から、sin CD:sin BD=sin b:sin c.
お返事いただき、ありがとうございます！ ここから具体的にCD、BDの値を求めるにあたって、式変形は以下の通りで間違っていないでしょうか？ sin CD/sin BD =sin b/sin c CD=a-BD、1/sin c=sec cより sin (a-BD)/sin BD=sin b・sec c 正弦加法定理より (sin a・cos BD-cos a・sin BD)/sin BD=sin b・sec c cos BD/sinBD=cot BDより sin a・cotBD-cos a=sin b・sec c cotBD=(sin b・sec c+cos a)/sin a 1/sin a=sec a、cos a/sin a=cot aより cotBD=sec a・sin b・sec c+cot a BD=arccot(sec a・sin b・sec c+cot a) 同様に CD=arccot(sec a・sec b・sin c+cot a) 未だに解消できずにいるので、ご確認いただけると幸いです！
よいと思いますが… これを何に活用したかったのか教えてほしいです。
一様多面体とその双対について調査・図示化を試みています。 四面体群・八面体群・二十面体群にそれぞれ対応する、単一(正像・鏡像含む)で球面を敷き詰められる球面三角形(シュワルツ三角形)が定義できます。 その三角形の中で多面体の頂点となる一つの点をとり、その三角形の辺(=大円を通る平面)で鏡像となるよう球面全体に点を配置すると、各群の対称性を保ったまま多面体を生成できます。 その三角形の中でも正多面体・半正多面体は、 三角形の各頂点 角の二等分線と対辺との交点 三本の角の二等分線が交わる点(平面三角形における内心) 球面三角形上の等力点(平面三角形における三つのアポロニウスの円及び等力点に相当) に頂点が存在すると生成されます。 このことから、球面三角形上の辺・角の二等分線・アポロニウスの円上で頂点を動かすことで滑らかに正多面体・半正多面体間を変形させる事ができ、全ての多面体を巡るマップになります。 また、一様多面体の枠組みでは、更にシュワルツ三角形を補完的に囲む傍接三角形(平面三角形で傍接円ができる領域に相当する三角形で、私の造語です)において、 同様に角の二等分線と対辺との交点や等力点で生成され、様々なシュワルツ三角形の派生型を通じて繋がりを持たせる事ができると予想されます。 前置きが長くなりましたが、このマッピングを3Dモデリングソフトで正確に描画するよう試みたところ、件の比率がうまく出せず行き詰まっているところでした。 geogeblaでシュワルツ三角と角の二等分線で敷き詰める所まではうまくいっているのですが、BDやCDの弧長(=中心角)を計測機能で測った値と 前コメントで得た式にa、b、cを代入して求められた値が一致しないのです。 特に球面上のアポロニウスの円は、平面三角形で作図できる真円とは異なり、歪んだ球面楕円？となる事が予測されます。(おそらく、球面に対して楕円柱を重心が一致した状態で相貫させた時の相関線になると予想しています) 球面三角形における角の二等分線が作る内分比率(および外分比率)の法則が整合性をとれていないと、その球面楕円や球面版等力点が正確に算出・描画できないため、質問させていただきました。
返答ありがとうございます。 面白いですね！ 計測機能で測った値と代入して求められた値の違いはどのくらいですか？
ご興味を持っていただけてとても嬉しいです！ ただ、まだ予想の部分が多くあることと、私が数学的センスがなく特にケアレスミスの多い人間なので、どこまで行き着けることやら… ひとまず問題を解く前提として、四面体群のシュワルツ三角における各種パラメータは以下の通りです。(半径1の球面) 頂点Aの球面角：60° 頂点Bの球面角：60° 頂点Cの球面角：90° 円弧BC(=a)の中心角：arctan(√2)=54.73561° 円弧AC(=b)の中心角：arctan(√2)=54.73561° 円弧AB(=c)の中心角：cos c=cos a・cos bより、 c=arccos(cos(arctan(√2))・cos(arctan(√2))) =arccos(1/3)=70.52878° この値を元に大円を設置していくと綺麗に球面が敷き詰められ、各種パラメータを再計測しても全て一致していました。 これらの値を BD=arccot(sec a・sin b・sec c+cot a) CD=arccot(sec a・sec b・sin c+cot a) に代入してそれぞれの円弧の中心角を計算してみたところ、 BD=15.79317° CD=11.42175° となりました。 対して、計測機能で測った値は BD=25.23940° CD=29.49621° であり、大幅にズレているどころか BC=BD+CDすら成り立っていない状態です…
誤記がありました！ 最後の段落でBDとCDが逆でした。 正しくは BD=29.49621° CD=25.23940° です。失礼しました！
なるほど。 仕事の合間にやっていますので、時間がかかってしまいました。 いろいろ確認や間違いがあったので、そこを修正するとうまくいきそうです。 【最後のコメントの確認】 「計測機能で測った値は、BD=25.23940°、CD=29.49621°」となっていますが、 CD=25.23940°、BD=29.49621°であれば、うまくいきます。 【２つ目のコメントでの式変形の間違い】 1/sin c=sec c となっていますが、1/sin c=cosec c です。 この訂正をすると、 BD=arccot(cosec a・sin b・cosec c+cot a). CD=a-BD=a-arccot(cosec a・sin b・cosec c+cot a). 【三角比表を用いた近似値計算】 BD=arccot(cosec a・sin b・cosec c+cot a) ≒arccot(cosec 54・sin 54・cosec 70+cot 54) ≒arccot(1.236×0.809×1.064+0.726) =arccot(1.789) ≒29.5 CD=a-BD≒54.7-29.5=25.2
ご多忙の中、親身に精査・検討していただき、誠にありがとうございます！ BDとCDの値が逆になっていたのは、私も後になって気づきました😅 そして、関数の逆数を取り違えるとは何たる初歩的なミス！😱 再度各種多面体群のシュワルツ三角で確認してみます！ これで先は進みそうです！ありがとうございました！🙇🏻♂️ またつまづいた時には、ご厄介でなければご指導いただけると幸いです☺️