ユークリッド互助法

⑵なのですが、どういう発想でユークリッド互助法に帰着できるのですか？二枚目の画像のような説明が頭にあったので文字置きしてみたのですが、もちろんうまくいきませんでした。2枚目の画像のやり方はどんな問題の時に活用できるのかも併せておしえていただけると嬉しいです

え はる さん(はるえさんかな？）、こんばんは。 「どういう発想で」と聞かれても困るのですが、最大公約数が絡んでいれば、ユークリッドの互除法も視野に入れるのは自然だと思います。ユークリッドの互除法を勉強したのは最大公約数をどうやって求めるのかという問題の時でしたよね。そのあと整数問題の「不定方程式の解法」で特殊解を探すのにも使いましたが。 ただ、必ずそのようにユークリッドの互除法を使わなくてはできないというものではなく、2枚目の写真のようにしてもできますよ。 最大公約数が３であることより、2n+30=3p…①、n+3=3q…②（ｐとｑは自然数で互いに素）と書けます。 ②よりn=3(q-1)…③だからｎは3の倍数。また１≦ｎ≦３０より１≦3(q-1)≦３０。これより4/3≦ｑ≦１１。ｑは自然数だから２≦ｑ≦１１。 また①に③を代入して整理すると2(q+4)=p…④。よってｐは偶数。ｐ、ｑは互いに素だからｑは偶数でない。ｑは奇数。 よってｑの可能性としてｑ＝３，５，７，９，１１が考えられる。そのとき④よりｐ＝１４，１８，２２，２６，３０となり、これらｐ、ｑの組はすべて互いに素になっているのでこれが適するｐ、ｑのすべて。←この確認は必要！ ③よりｎ＝６，１２，１８，２４，３０ これでどうですか？わかりますか？ユークリッドの互除法を持ち出すより、こちらの方が自然だし理屈も難しくないと思うのですが。 これを読んだら、以前のようにコメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。