等差数列と等比数列の共通項

整数とありますが、自然数でない理由がわかりません。倍数であることを示したいわけでもないのに整数倍にする意味がわかりません。もし自然数でないパターンがあるのでしたら教えていただきたいです。整数にしたら値をとる範囲が大きくなってしまい、不適切な解を採用してしまうんでないかと心配です。よろしくお願いします🙇

田中 太郎 さん、こんばんは。 ゴメン、質問がわからない。 整数ってのは、右の方の線が引いてあるところですか? もちろんｌやｍは自然数ですから、その部分も自然数でいいですよ。しかし、整数と書いてもおかしくはないです。この解答者はｌ、ｍが項の番号であることは気にせずに、たんに３ｎー１、３・２ｌー１などを式の上だけで見れば、自然数よりもっと広い範囲の整数でも良いからそう書いたのかもしれません。「３・（自然数）ー１」でもいいのですよ。 「心配です」というのがよくわからないのですが、単に3n-1で表される数と2^n（２のｎ乗）を比較して、ｎに負の整数を認めても議論はでき、そのような負の数も見つかります。でもこの問題ではｎは項の番号なので自然数としているだけです。ｎが有理数や無理数である場合も考えようとすれば、これだっていくらでも当てはまる数は得られます。でも今はｎが項の番号なのでｎが自然数以外であることは考えませんよ。 あなたの疑問に答えられたか心配です。これでは解決しないようなら、もう一度疑問点を整理して教えてくれますか?

こんにちは。 ご指摘の通り、写真の「$3 \cdot \textrm{(整数)}-1$ の形で表される」という記述は、「$3 \cdot \textrm{(自然数)}-1$ の形で表される」とする方が適切だと思います。「$b_{m+2}$ は $\{a_n\}$ に含まれる」という文は、「$b_{m+2} = 3n-1$ を満たす自然数 $n$ が存在する」ことを意味します。そのため、$b_{m+2}=3(4l-1)-1$ の $4l-1$ が自然数であることを確認する必要があります。 自然数であることを確認しないと誤った結論に至る例として、与えられた数列が $a_n=-3n+5, \ b_n=2^n$ であった場合を考えると分かりやすいと思います。このとき、$b_{m+2}=4(-3l+5)=-3(4l-5)+5$ より、$b_{m+2}$ は $-3 \cdot \textrm{(整数)}+5$ と表せます。ここで、$b_{m+2}$ が $\{a_n\}$ に含まれると結論付けてしまうと、$a_1=b_1$ より $b_3=8$ も $\{a_n\}$ に含まれることになります。しかし、$\{a_n\}: 2,-1,-4,\cdots$ より、$8$ は $\{a_n\}$ に含まれないため、これは誤った結論です。