接線の方程式

解説にf(t)＝g(t)とf'(t)＝g'(t)を使うとあったのですが、f(t)＝g(t)を使わなくても答えがあいました。私のやり方は正規のやり方ではないと思うのですが、このやり方でも大丈夫ですか？

髙木 忠 さん、こんばんは。 2つの曲線が接しているという条件は、f(t)＝g(t)とf'(t)＝g'(t)の2つを満たしていることと同値ですので、両方必ず成り立たなければいけません。 ところが、この問題では、なんとあなたは「同じⅹ座標（ｘ＝ｔ）における2つの接線がともに点（０，2ａ）を通る」という条件だけでｔ、ａ、ｂの3つの未知数が求まってしまいました！　 本来は求まるはずはありません。でも点（0，2ａ）というのが微妙に役に立って、この問題ではたまたま（！）求まってしまったようです。あなたの③④で、普通なら③にはａも残るはずですがたまたま（！）消えました。④では普通ならa，bが残るはずですが、ｘ座標に０を代入したおかげでｂが消えてしまい、ｔとaの式になりました！ 一般的にはあなたの解き方で正解が求まることはまずありませんし、論理的には間違っています。あなたが求めたものは「同じⅹ座標（ｘ＝ｔ）における2つの接線がともに点（０，2ａ）を通る」ようなa、ｂ、ｔを求めただけで、まだ同じｘ座標（ｔ＝２）のところで共有点になっていることは確認できていません。あなたの答案にさらに「このときf(2)=g(2)が成り立つので共有点での接線になっていて、2つの接線は同一のものになっている。よって題意を満たす」とでも付け加えないとまずいと思いますよ。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。