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逆像法で軌跡を求めたい

    はま はまち (id: 3970) （2025年3月3日12:24）
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    直線$y=mx-3$が円$x^2+y^2=4$と異なる2点で交わっている。このとき、線分$PQ$の中点$M$の奇跡を求めよ。という問題についてです。 問題集の回答では、異なる2点で交わることからmの範囲を、中点をmで表すことでmを消去して円の式$x^2+(y+\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ $(-\frac{4}{3} < y < 0)$を導いています。 私はこの問いを逆像法を用いる事で解きたいです。 中点のy座標 Y をmとXで表して、円に代入した式 $$X^2m^2-6Xm+X^2+5=0$$ のmの存在条件を使うと考えましたが具体的にどうするのかよく分かりませんでした。 この問いを逆像法的な考え方で解くことはそもそも出来ますか？出来るのならば手順を教えてください。
    直線y=mx−3y=mx-3が円x2+y2=4x^2+y^2=4と異なる2点で交わっている。このとき、線分PQPQの中点MMの奇跡を求めよ。という問題についてです。
    問題集の回答では、異なる2点で交わることからmの範囲を、中点をmで表すことでmを消去して円の式x2+(y+32)2=94x^2+(y+\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} (−43<y<0)(-\frac{4}{3} < y < 0)を導いています。

    私はこの問いを逆像法を用いる事で解きたいです。
    中点のy座標 Y をmとXで表して、円に代入した式
    X2m2−6Xm+X2+5=0X^2m^2-6Xm+X^2+5=0
    のmの存在条件を使うと考えましたが具体的にどうするのかよく分かりませんでした。

    この問いを逆像法的な考え方で解くことはそもそも出来ますか？出来るのならば手順を教えてください。

    回答

    ぺぺぺ S (id: 3918) （2025年3月3日23:59）
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    【問題文の確認】 y=mx−3がx^2+y^2=4と異なる2点で交わっている。この2点をP,Qとする。 【今回の問題のアプローチ】 mの存在範囲、中点Mの条件を同値変形していく。 【逆像法による解き方】 条件を満たす中点Mの座標を(X,Y)とする。 ⇔①y=mx−3がx^2+y^2=4と異なる2点で交わっている。※mの存在条件 　②(X,Y)は、線分PQの中点。 ⇔①直線mx-y−3=0の原点Oからの距離が2より小さい。 　　∴1+m^2>9/4.　←これは自力で計算してください。 　②Y=mX-3,Y=-X/mを満たす。　※Y=-X/mは、PQ⊥OMより。 ⇔②の2式からXを消去すれば、1+m^2=-3/Y.　∴-4/3<Y<0.　←これは自力で確かめてください。 　②の2式からmを消去すれば、X^2+(Y+3/2)^2=9/4.　 ←これは自力で確かめてください。 以上から、X^2+(Y+3/2)^2=9/4,-4/3<Y<0.
    【問題文の確認】
    y=mx−3がx^2+y^2=4と異なる2点で交わっている。この2点をP,Qとする。
    【今回の問題のアプローチ】
    mの存在範囲、中点Mの条件を同値変形していく。
    【逆像法による解き方】
    条件を満たす中点Mの座標を(X,Y)とする。
    ⇔①y=mx−3がx^2+y^2=4と異なる2点で交わっている。※mの存在条件
    　②(X,Y)は、線分PQの中点。
    ⇔①直線mx-y−3=0の原点Oからの距離が2より小さい。
    　　∴1+m^2>9/4.　←これは自力で計算してください。
    　②Y=mX-3,Y=-X/mを満たす。　※Y=-X/mは、PQ⊥OMより。
    ⇔②の2式からXを消去すれば、1+m^2=-3/Y.　∴-4/3<Y<0.　←これは自力で確かめてください。
    　②の2式からmを消去すれば、X^2+(Y+3/2)^2=9/4.　 ←これは自力で確かめてください。
    以上から、X^2+(Y+3/2)^2=9/4,-4/3<Y<0.
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