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複素数の方程式
高校3年生です。
(2)で模範解答はz=x+yiとおき、実部と虚部を比較してa≧-1/4と出していました。
私は写真のように解答したのですが、これでは必要条件を調べただけで十分性を確かめていないため不適切と書かれていました。
連立方程式のように、①+②/2 の式かつ①or②とすれば同値性を保てるのでしょうか？
回答
登録用 アカウント さん、こんにちは。
たしかに流れからすると必要条件しか求まっていないですね。
ただ、もっと疑問なのは、①と②はそもそも同値だから、その２つから何かを導くのはどうなのかなぁ。
私の考えですが、①を得た時点で、$z\overline{z}$ は $|z|^2$ なので実数だから、実数＋複素数ー実数＝０よりｚは実数であることが分かってしまいます。zを実数ｔと書き換えて（そんな必要はないんですが）、①は $t^2+t-a=0$ という２次方程式になり、これが実数解を持つためには、判別式 $D=1+4a\geqq 0$ 。これより $a\geqq -\dfrac{1}{4}$ となります。
これで大丈夫ですか？以前のようにコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。
大変ありがとうございます。 簡潔な解答で感動しました。そう考えると、(1)は(2)のヒントになっていたのですね。気づきませんでした。 私も①と②がそもそも同値であるから、無意味な式変形を続けているのではないかと思っていました。 しかしこの方法でも正しい解が得られそうです。大学入試でこのような解答をするのは適切なのでしょうか。
なぜそれでaの範囲が出てしまうのかは解明していませんが、a=bと3a=3bから4a=4bを導いても、なんら新しい情報は得られませんからねぇ。
やはり教えてくださった解法が1番スマートのようですね。ありがとうございました。
こんにちは。
今回の問題で示すべきことは、「①を満たす $z$ が存在する」と「$a \geqq -\dfrac{1}{4}$」が同値であることです。
あなたの「連立方程式のように」という考え方によって、「①を満たす $z$ が存在する」と「$a \geqq -\dfrac{1}{4}$ かつ (①を満たす $z$ が存在する)」が同値であることを導くことは正しいです。一般に、「$P$ ならば $Q$」が真のとき、$P$ と「$P$ かつ $Q$」は同値です。
しかし、「$a \geqq -\dfrac{1}{4}$ かつ (①を満たす $z$ が存在する)」と「$a \geqq -\dfrac{1}{4}$」が同値であることは直ちに明らかではありません。これを示すためには、「$a \geqq -\dfrac{1}{4}$」ならば「①を満たす $z$ が存在する」を確認する必要があります。つまり、「連立方程式のように」という考え方は、十分性の確認を先延ばしにしているに過ぎません。
大変ありがとうございます。 深く理解出来ました。私の方法では結局また十分性を確認する必要がある上、確認も簡単に出来なさそうですね。 最後に質問なのですが、①と②はそもそも同値だと思います。ですが、今回のように違う2式のように考えて答案を書くことは論理的におかしいのでしょうか。
①から同値な②を導き、①と②から a≧-1/4 を導くことで、「① ならば a≧-1/4」と結論付けるのは論理的に正しい操作です。あなたの解答の方針には、十分性の確認が欠けているという点を除いて論理上の問題はありません。ただ、十分性を確認するくらいなら、最初から実数 z の二次方程式 z²+z-a=0 の判別式を調べた方が簡潔だとは思います。
全ての疑問が解けました。 的確に回答していただけてとても助けになりました。ありがとうございました。