高次方程式

やり直してみましたが、二次方程式を解の公式で解くと√の中が a の式になってしまい、これが虚数解になるのでしょうか？

こんにちは。 二次方程式の係数に文字 $a$ が含まれているため、解の公式から得られる虚数解が $a$ の式で表されることはおかしくありません。問題文の「$S$ を $a$ の式で表し」という指示も、$p$ や $q$ が $a$ の式になることを示唆しています。 ただし、あなたの計算には二つの誤りがあります。まず、極小値が正のとき、$a<\dfrac{1}{3}$ ではなく $a>\dfrac{1}{3}$ です。$\textrm{(1)}$ と同じ範囲が得られた時点で、誤りがあることに気付きたいです。また、$f(x)$ を $x$ でくくるときに、$1+a$ が $1-a$ になっています。これらの誤りを修正して得られる $a$ の式が虚数解です。 修正後の虚数解が $\dfrac{A \pm \sqrt{B}}{C}$ という形になったとします。$B$ が負であることに注意して $\dfrac{A \pm \sqrt{B}}{C} = \dfrac{A}{C} \pm \dfrac{\sqrt{-B}}{C}i$ と変形することで $p=\dfrac{A}{C}, \ q=\dfrac{\sqrt{-B}}{C}$ と分かります。あとは、$a$ の関数 $S$ の最小値を求める問題です。