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複素数のn乗根の和 証明
大学4年生です。
複素解析の問題なのですが、解答には複素数のn乗根を全て足すと0になると書いていました。直感的には分かりますが、僕はどうやって証明できるかを知りたいのです。計算はやってみたのですが、画像で送った部分までしか分かりませんでしたし、どう頑張っても解答の通りにはなりませんでした。どうかお力添えをいただきたいです。よろしくお願いします。
（追記: 2025年3月16日12:33）
コメントありがとうございます。ご提示していただいた方針をもとに計算したところ、正しい答えが出ました。ただ、手順が合っているか確認していただきたいです。
回答
マガイ マガド さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。
あなたのやり方は正攻法ですが、三角関数の値の和が大変そうです。積のほうはあと∑を計算すれば、角のところはθ+奇数πで結果が簡単になり答に至れます。
ここは肩透かしで、解と係数の関係、というか、係数比較でいけますよ。
$x^n-a=0$ が $(x-w_0)(x-w_2)(\cdots )(x-w_{n-1})=0$ と変形できるはずですから、
後者を展開した時の $x^{n-1}$ の係数と定数項を調べて前者と比べれば、問題の両方の値が求まります。
一応方針だけに留めておきますので、後の計算はやってみてください。
これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、答が合わないがとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。
（追記: 2025年3月16日13:47）
あ、返事は出来るだけ回答に対するコメントでお願いしますね。書いてある場所を探してしまいます。
答案の写真を拝見しました。ちょっと違うようです。
この式の展開は「２項展開」ではありません。組合せ数が出てくるのは $(a+b)^n$ の展開の時です。
この式の展開を一般的に書くのは大変です（書くことはできますが面倒です）。
たまたま $x^n,x^{n-1},$定数項については式を見ているだけで書くことができます。
$x^{n-1}$ の項の係数は $-(w_1+w_2+\cdots +x_{n-1})$ 、定数項は $(- w_1)(-w_2)\cdots (-w_{n-1})$ です。
よって前者＝０、後者＝－aとなり、問題で聞かれている値を求めることができますよ。
これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。
間違えて式に組み合わせ数を入れてしまいました、すみません。係数比較による解き方については、十分理解できました。ありがとうございました！
どういたしまして。またどうぞ。 なお、私に「すみません」なんていう必要は全然ないですよ！ 自然体でいきましょう！