様々の数列

青チャートIIBの例題28の小問2について 解答と指針を読んでも理解ができないです anの一般項のnに1から順に代入して1、-4、9、-16···が出たのですが これと指針のところのSn=···と少し違ってて、そもそもどうして小問1のa2k-1+a2kを利用するのかなどがよくわからないです… 解説よろしくお願いします

間島 悠翔 さん、こんばんは。 ちょっと質問があいまいで「これと指針のところのSn=···と少し違ってて」というのをどう解釈したらいいのか分かりません。そこを無視して(笑)回答します。 この数列$\{a_n\}$ のように、項の符号が一定でないものは一般には難しいのです。公比がマイナスの等比数列レベルの素直な数列ならいざ知らず、2乗の和っぽいのに符号が毎回変化する数列では $\sum_{k=1}^n (-1)^{n+1} n^2$ を直接求めるようなことは残念ながらできません。そこで誘導として（１）があるのです。親切に誘導してくれているので、その誘導に従って考えればうまくいくように作ってあるのですね。 2個ずつまとめて作った数列 $\{b_n\}$ は符号があれこれ変わるようなことにはなりません。それが（１）で得られた $\{b_n\}$ で、 $a_{2n-1}+a_{2n}=b_n=1-4n$ です。これの和は簡単に求められます。m項までの和は$\sum_{k=1}^m (1-4k)=-2m^2-m$ です。 でもこの和は2個ずつまとめた数列をm個足していますので、数列$\{a_n\}$ で考えると $a_1$ から $a_{2m}$まで足したもので、偶数個の和にしかなっていません。$\{a_n\}$ を奇数個足すときは、 $\{b_n\}$ の和だけでは無理で、最後にひとつだけ$a_n$ をひきますよ。 （ここまでのｋやｍやｎは、写真の解答で使っているのと若干違いますので気を付けてくださいね。ここだけでの使い方です） ここまでは考え方です。答案上はｍやｎの関係をよく考えて使います。 [1]は偶数個の和ですから $b_n$ の和だけですみます。偶数ｎを2mと書けば、$a_n$ のｎ項までの和は $b_n$ のｍ項までの和でいいですね。たとえば$a_n$ を8個足すときは $b_n$ を4個足せばいいのです。 でも、奇数になったときは別です。[2]がそれですね。 奇数ｎを2m-1と表わします。この場合は$a_n$ を2m個足したところ（１つ足し過ぎ）までは $b_n$ をm個足して求め、そこから$a_{2m}$ をひけばいいのですね。 $b_n$ をm個足したら[1]の答になり、そこから$a_{2m}=(-1)^{2m+1}(2m)^2=-4m^2$ を引きますよ。 けっきょく $S_{2m-1}=2m^2-m$ が得られました。ただしこれはｍを使って表わした式ですから、ｎに戻してあげます。$m=\dfrac{n+1}{2}$ を代入してｎの式にしました。 その結果はなんと！[1]の答の符号を変えたものになっていました！これはなかなか珍しいことです。おかげで最後の答を場合分けで2つ答えなくても済みました。というわけなんですが、どうでしょうか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。