高校数学Ⅱ二直線の交点を通る直線式

二直線の交点を通る直線式を求める問題に関する質問です。例えばx+2y-4=0と2x−y−3=0の交点を通る直線式を求める問題でk(x+2y-4)+(2x−y−3)=0でなぜ求められるのかわかりません。なぜこの式が成り立つのでしょうか。なぜkをかけているのか、なぜ足し算が行われているのか詳細に説明していただきたいです。お願いします🙇。

方程式 k(x+2y-4)+(2x−y−3)=0 を満たす(ｘ，ｙ)を考えたとき、kがかけられた(x+2y-4)の部分が0となり、さらに(2x−y−3)の部分が0となるような(ｘ，ｙ)が方程式 k(x+2y-4)+(2x−y−3)=0 を満たします。つまり直線 k(x+2y-4)+(2x−y−3)=0 は今求めた(ｘ，ｙ)で表される点を通ることになります。この(x,y)はx+2y-4=0と2x−y−3=0をともに満たすので2つの直線x+2y-4=0、2x−y−3=0に共通する点を表します。 なので交点を通る直線はk(x+2y-4)+(2x−y−3)=0と表されます。このkの値によってもちろん上の式は変わって、異なる直線の方程式となります。これは2つの直線x+2y-4=0、2x−y−3=0の交点を通る直線が無数にあることを表しています。

渡辺 越 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 説明が長くなりますが、がんばって読んでください。こちらもがんばって書きます！ 説明の中で分かりにくいところがあれば、あとでコメントに書いてください。改めて説明しますよ。 さて…「y=f(x)のグラフが点（ａ，ｂ）を通る」とは「b=f(a)が成り立つ」ことと同じです。 グラフの表現としてg(x,y)=0を使うなら「g(x,y)=0のグラフが点（ａ，ｂ）を通る」とは「g(a,b)=0が成り立つ」ことと同じですね。 逆も成り立つので、q=f(p)が成り立つとわかれば、y=f(x)のグラフは点（ｐ、ｑ）を通ることが分かります。同様にg(p,q)=0が成り立つとわかればg(x,y)=0のグラフは点（ｐ、ｑ）を通ります。 以下、あなたの質問がいくつかの中味に別れるので、それぞれ答えていきます。 まず 直線$x+2y-4=0と2x−y−3=0$　はg(x,y)=0のほうの書き方です。 (i)　2直線の交点が点（ｐ、ｑ）だとすると、交点はどちらの直線の上にもありますから $p+2q-4=0,2p-q-3=0$ が成り立っていますね。 ここで新しい関数 $k(x+2y-4)+(2x−y−3)=0$ …①を考えたとき、この式は展開するとｘ、ｙの1次式だから直線を表しています。またｘ＝ｐ、ｙ＝ｑを代入すると　$k(p+2q-4)+(2p-q-3)=k\times 0+0=0$ となり、ｋの値にかかわらず点（ｐ、ｑ）を通ることが分かります。よって①で表わされる図形は2直線の交点を通る直線であることが分かりました。ｋの値が変化すると、直線の傾きも変化し、①は交点を通るさまざまな直線を表していることが分かりました。 (ii)ところがこの式では①は交点を通るさまざまな直線のうち、ただ1本だけが表せません。其れは$x+2y-4=0$です。ｋ＝０とすれば $2x-y-3=0$ は表わせるのですがね。そこでもっと一般的に「2直線の交点を通る直線の式」と言われたら $k(x+2y-4)+m(2x−y−3)=0$ …②のほうがいいのです。これなら交点を通るすべての直線を表せます。問題を解くときにこの式を使っても大丈夫です。でもたいていは求めようとする直線が元のものと同じになることがないので、どちらか一方に実数ｋをかけた式でやります。 (iii)　なぜ、実数ｋをかけるのか？それは直線を求めたいからです。ｋの代わりにｘやｙのどんな式をかけたって交点を通る図形の方程式にはなります。例えば $x(x+2y-4)+(-y)(2x−y−3)=0$ で表わされる図形は2直線の交点を通ります。だって $(p(p+2q-4)+(-q)(2p−q−3)=p\times 0+(-q)\times 0=0$ となり、たしかにその図形は交点を通りますね。でもこれは直線ではありません。円になります。円の方程式を学習しているのかどうかわかりません（学年など最初に書いてくださいね）のでこれ以上はやめておきますが、超一般的には 「2つのグラフ $f(x,y)=0,g(x,y)=0$ の交点を通る図形の方程式は $k(x,y)f(x,y)+m(x,y)g(x,y)=0$ で表わされます」 k(x,y)やm(x,y)を適当に選べば直線になったり円になったり放物線になったりします。 (vi)　残った質問「なぜ足し算なのか」…例えば掛け算してみましょうか。 方程式 $k(x+2y-4)(2x−y−3)=0$ …③はどんな図形になるでしょうか。直線x+2y-4=0の上の点は代入すれば０×□＝０となるし、直線2x-y-3=0の上の点を代入すれば△×０＝０となり、けっきょく③は2つの直線の両方をいっぺんに表している式になります。一般に掛け算ではどちらがが0なら結果は０になるので、交点ではなく両方をいっぺんに表す式になりますよ！といいうわけで、「交点を通る…」というときは「両方とも0になったときに0になる式」である必要があり、手っ取り早く2つの式の定数倍の足し算を使いますよ。 (v)　円の方程式を習えば「2つの円の交点を通る円あるいは直線」を求めるのがでてきますが、これと同じようにやります。 あなたがどこまで理解なさってるのかわからないので、余計なことを書いたり、説明不足なところがあったりしたかもしれません。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。