複素解析

me ta (id: 4019) （2025年3月29日23:55）

(1)からどうしたら良いか分からないです。留数定理でもそのまま積分路に沿ってもうまくいかないような気がして。 (2)は検討もつかないです。

回答

ぺぺぺ S (id: 3918) （2025年3月31日15:07）

【回答をするにあたって】あなたが講義等で、どういった内容を押さえてもらっているか不明なので、回答のアウトラインのみの記述とします。【この問題のポイント】留数定理を活用し、1/sinz を有理関数に式変形します。実際は以下の式になります。 1/sinz = 1/z + 2zΣ[n=1~∞](-1)^n / {z^2-(nπ)^2}. これは、(2)の問題と同じ式であることに注意しましょう。【(1)について】絶対値による大きさの評価によって、極限値が0であることを示します。 ∫[Cn] f(w)/w(w-z)dw=∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw - ∫[Cn] 1/w^2(w-z)dw. ∫[Cn] 1/w^2(w-z)dw=-2πi/z^2.　∵留数定理　←自力で確かめてください。 ∴∫[Cn] f(w)/w(w-z)dw=∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw + 2πi/z^2. |∫[Cn] f(w)/w(w-z)dw|=|∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw| + |2πi/z^2| ≦L/n^2×2π×4(2n+π) + 2πM/n^2　L,Mは正の定数　←自力で確かめてください。 ∴lim[n→∞]∫[cn] f(w)/w(w-z)dw=0. 【(2)について】 g(w)={1/sinw}/(w-z)とする。w=z,w=kπ (k∈Z)で極をもつ。 Res[w=z]g(w)dw=1/sinz.　←自力で確かめてください。 Res[w=kπ]g(w)dw=(-1)^k/(kπ-z).　←自力で確かめてください。 ∴∫[Cn]g(w)/2πi dw=1/sinz +Σ[k=-n~n](-1)^k/(kπ-z)　∵留数定理　←自力で確かめてください。 ∴∫[Cn]g(w)/2πi dw=1/sinz -1/z - 2zΣ[n=1~∞](-1)^n / {z^2-(nπ)^2}.　←自力で確かめてください。 (1)より、∫[Cn]g(w)/2πi dw=0.　←自力で確かめてください。 ∴1/sinz -1/z - 2zΣ[n=1~∞](-1)^n / {z^2-(nπ)^2}=0. 以上から、1/sinz -1/z=2zΣ[n=1~∞](-1)^n / {z^2-(nπ)^2}.

me ta (id: 4019) （2025年4月1日0:42）

なるほど！留数定理が使える形で考えるのですね。ただ、 |∫[Cn] f(w)/w(w-z)dw|≦|∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw| + |2πi/z^2| ≦L/n^2×2π×4(2n+π) + 2πM/n^2　L,Mは正の定数この部分がいまいち分からなかったです。どういう考え方を使ったかだけでもいいので教えていただけないでしょうか

ぺぺぺ S (id: 3918) （2025年4月1日22:46）

平日は仕事があるので、すぐに返信できないです。すいません。 ※講義等で証明された事実をうまく利用して、必要ない部分は省略してください。【質問を解決するためのポイント】 (事実１)C上で、|f(z)|≦M (Mは正の定数)であり、Cの長さがL以下のとき、 |∫[C] f(z)dz|≦ML が成り立つ。 ※この事実は学習済みのはずです。この評価式を利用します。 (事実２)R(Z)が有理関数で、(分子の次数)≦(分母の次数)-2 を満たすとき、 |z|が十分大ならば、|R(z)|≦K/|z^2| が成り立つ。 ※この事実は一般の有理関数に対するものなので、未習の場合、今回は図から評価式を与えた方が簡単です。【質問について】 |∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw| + |2πi/z^2|≦L/n^2×2π×4(2n+π) + 2πM/n^2　L,Mは正の定数はなぜか？【質問に対するアプローチ】上記の事実１を使うために、|∫[Cn] 1/w(w-z)×1/sinw dw|について、 Cn上で、|1/w(w-z)|≦L/n^2, |1/sinw|≦2π、|Cn|=4(2n+π)を確かめる。 |1/w(w-z)|≦L/n^2については、事実２を使う。 |1/sinw|≦2πについては、1/sinw=2i/{e^(iz)-e^(-iz)} を使い、正方形Cnの縦の辺と横の辺で場合分けをして、評価式を与える。

回答する