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極座標変換を用いた重積分
極座標変換を利用して、次の重積分の計算をお願いしたいです！（領域の図示も含めて解説いただけるとありがたいです。）
回答
【この問題を解くためのポイント】
Dの領域は、以下のように領域を分けることができる。
D=D1-D2, D1:x≧0, y≧0, x^2+y^2≦1, D2:x≧0, y≧0, x^2+y^2≦x
※自分で図示して確かめましょう。
この分けた領域で、重積分の加法性を利用し、計算する。
【極座標変換による領域の確認】
D1は、極座標変換により、E1:0≦r≦1, 0≦θ≦π/2
D2は、極座標変換により、E2:0≦r≦cosθ, 0≦θ≦π/2
となることに注意する。
【問題の回答】
∬D√(x^2+y^2)dxdy=∬D1√(x^2+y^2)dxdy -∬D2√(x^2+y^2)dxdy.
∬D1√(x^2+y^2)dxdy=∬E1 r×r drdθ=π/6. ←自力で確かめて下さい。
∬D2√(x^2+y^2)dxdy=∬E2 r×r drdθ=8/45. ←自力で確かめて下さい。
∴∬D√(x^2+y^2)dxdy=π/6 - 8/45.