剰余の定理

赤線のところがわかりません。 どうして商を割れば良いんですか？理屈がわからないです、、

百花さん、こんばんは。 私にもよくわからない。 たしかにそのようにやるとうまく求めることができますが、どういう発想から出てきたのかが書いてないですね。 「考え方」のところにも「ここで…」などと書いてあるだけで、なぜそのようなことを考えたのかが書いてないですね。 つまり、このようにやるとうまくいくこともあるから解法のテクニックとして覚えておくといいよ、というだけなのかもしれません。 私が教えるとしたら、次のようにやります。ただし、2次方程式 $x^2+x+1=0$ の解である虚数 $\omega$ を習った後のはなしですが。 $P(x)$ を $x^3-1$ で割ったときの商を $Q(x)$ 、余りは高々2次式だから $ax^2+bx+c$ と書けるので、 $P(x)=(x^3-1)Q(x)+ax^2+bx+c$ と書ける。 また、$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)(x-\omega)(x-\omega ^2)$ と因数分解できるので、 $P(x)=(x-1)(x-\omega)(x-\omega ^2)Q(x)+ax^2+bx+c$ と書ける。 このように1次式の因数がはっきりしていれば、あとは１とかωを代入するという、普通のやり方でできますよ。 $P(1)=a+b+c,P(\omega)=a\omega ^2+b\omega +c=a(-\omega-1)+b\omega +c$ また 剰余定理より $P(1)=11$ だし、 $P(x)=(x^2+x+1)Q'(x)+x+1$ より $P(\omega)=\omega +1$ だから、 $a+b+c=11$…① $,a(-\omega-1)+b\omega +c=\omega +1$ うしろの式を整理すると $(-a+b-1)\omega +(-a+c-1)=0$ となり、これより $-a+b-1=0$…②$,-a+c-1=0$…③ ①②③の3元連立方程式を解けばa,b,cが求まり、答が得られます。 これは普通に余りを求める問題のやり方だけですが、ω²＋ω＋１＝０を知っていることと、「実数ｐ×虚数ｚ＋実数ｑ＝０ならｐ＝ｑ＝０である」ことを知っている必要がありますが。 かえって難しいと感じるようだったらゴメンナサイ。 このやり方、わかりますか？