空間図形

例題についてなのですが 解答6行目のsin角HCBをどのように求めたら良いのかが分かりません。 ご説明お願いします。 【追記】 右下の図を見ていたらなんとなく理解出来た気がするのですが 正四面体の点Aの垂線の足Hは、底面の正三角形の重心と交わるので、角HCBは60°×1/2=30°である。 という解釈であっていますでしょうか？

ひなた さん、こんにちは。 はい、あなたの追記に書いてあることは正しいです。 正４面体のような単純かつ対称性の高い立体では、垂線を下ろせば底面の正三角形の重心かつ内心かつ外心かつ垂心にぶつかります。底面の地維新からずれるような条件はないですから。このへんのことは証明なしに使ってしまうことは多いです。 一度はぜひ証明しておいてください。正四面体の場合は、垂線の足が底面の正三角形の外心になることを示すのが楽だと思います。うまくいかないようなら聞いてください。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 =================================== 追記　2025/04/06　16:40～ コメント拝見、 Aから△BCDへの垂線の足Hが△BCDの外心であることの証明の方針： AH⊥面BCDだから、面BCD内の任意の直線とAHは垂直です。 よってAH⊥BH、AH⊥CH これで直角三角形ABHとACHが合同だと示せますから、結論としてBH=CHが得られます。同様にしてCH=DHですから BH=CH=DH 　よってHは△BCDの外心である。 これが重心と一致することは証明できますか？ まず△BCH≡△BDH（３辺がそれぞれ等しい）が分かります。BHの延長とCDとの交点をEとすると、△BCE≡△BDEがわかる。よってEはCDの中点なので、Hは中線BE上にあることがわかり、同様にして他の中線の上にもあることがわかるので、Hは重心！！ これで大丈夫ですか？