不等式の範囲

解説の赤線部分はなぜこうなるの解説をお願いします。

北村 心奏 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 「解説」の2行目の2次不等式の解は１と $a^2-2a$ の間だということはいいですか？不等式に等号が入っていないので、ｘ＝１は不等式の解には含まれません。 ということは、$y=x^2-(a^2-2a+1)x+a^2-2a$ という2次関数のグラフを考えたとき、そのグラフはｘ軸と2点A(１，０）とB($a^2-2a$、０）で交わりますね。この範囲の中に整数がないというのが問題の内容です。 点A(１，０）を通り、下に凸の放物線を考えてみてください。もう1点 B($a^2-2a$、０）で交わりますが、その点はどんな範囲にあれば条件（整数を含まない）を満たすでしょうか？点Bが１の左側にあるときは、Bが０より大きければBとAの間には整数が入らず条件を満たします。ここまでで $0<a^2-2a<1$ がわかりました。Bがちょうど０のところに来た時はどうでしょう？ $a^2-2a=0$ のとき、2次不等式の解は $0<x<1$ となり、この場合も整数は含みません。よって $a^2-2a=0$ も条件を満たすので等号が入り、$0\leqq a^2-2a<1$ までわかりました。BがAと一致した時はそこが重解となって、不等式の解はありませんので、これも条件を満たします。よって$0\leqq a^2-2a\leqq 1$ までわかりました。 点Bが１より大きいときは、Bが（２，０）より右にあれば大丈夫ですね。だから$1<a^2-2a<2$ までわかりましたよ！で、Bがちょうど（２，０）になったときは、不等式の解は $1<x<2$ となり、これも整数を含みません。よって$a^2-2a=2$ でもいいことが分かりました！つまり$1<a^2-2a\leqq 2$ です。 これらをまとめると赤い線の式になりますよ。 これだけのことを頭の中で考えなければなりません。慣れてくれば大丈夫ですから、いろいろ練習してみてください。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。