微分

この問題の解答について質問です。 解答では　$ f ^ { \prime } ( x ) = ( 3 x - 2 a ) ( 3 x + \frac { 2 } { a } ) $ から$ f { \ } ( x ) $の極値をとる時の$ x $ 座標が $$ x = \frac { 2 } { 3 } a , - \frac { 2 } { 3 a } $$となり，解答ではここで $a $ の値で場合分けをしているのですが，結局求めるのは極大値と極小値の差だから，場合分けの記述なくてもいきなり絶対値を用いて計算して相加・相乗平均と等号成立条件で答えを求めたらいいんじゃないかと思ったのですが， これってまず $a $ がどんな値(0以外)でも$ f { \ } ( x ) = 0 $ は必ず極値をもちますよ〜ってことを表してるんですかね もしそうなら $f ^ { \prime } ( x ) = 0 の判別式 $を用いて $$ \begin{aligned} D / 4 &= 9 ( a - \frac { 1 } { a } ) ^ { 2 } + 36 \\ & > 0 \end{aligned} $$と書いて極値が存在することを示してから絶対値の中の差を計算し始めても良いんですかね

北の学生さん、こんにちは。回答が遅くなり、ゴメンナサイ。 あなたがおっしゃることはもっともです。 その解答は「解説」という意味もあって増減表を書いたのでしょうが、その下に「いずれにせよ」とある通り、無くても構わないと思います。増減表を書こうと思うとどうしても場合を分けなければなりませんが、書かずに「極値の差」で済ますなら場合分けも不要ですね。 質問の後半もあなたの考えでいいです。 数学の解法はいろいろあるし、書き方も様々です。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いて下さい。よろしく。