数列　応用　くさぼぼさん　よろしくお願いします

ノートの上に書いてあるのが条件でこの漸化式の一般校を求める青チャートに例題です。誘導がありましたが使わずに解きましたが計算が合いません。どこが違うか教えてください。

h k さん、こんばんは。くさぼぼです（笑）！いや「くさぼうぼう」ですよ！ 下から５行目が間違ってます！４は分母ではなく分子にきませんか？ 直してやってみてください。 解く際に、どんどん置き換えていった方が楽だし間違えにくいですよ。 $a_n-2=b_n$ と置き換えて、次に $\dfrac{1}{b_n}=c_n$ と置き換えて、$c_n+\dfrac{1}{6}=d_n$ と置き換えて、$d_n$ が公比４の等比数列になります。置き換えずにやっているとどこかで間違えたり、書き間違いなんて言う単純な間違えを誘発したりしやすいです。 これで大丈夫ですか？行き詰まったらまた聞いてください。 質問の際は、問題そのものの写真をお願いします。どんな誘導がついていて、あなたは使わなかったのかも知りたいですし。