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t=sinx+cosx の同値性について
高校範囲で答えていただけると助かります。
t=sinx+cosx
→sinxcosx=(t^2-1)/2となりますが、この置き換えをつかうと、必要条件となり関数の最大値最小値が正しく考えられないと考えました。
y=sinx+sinxcosx+cosx xεR
→y=(t^2-1)/2+t √2>=ltl (絶対値です)
このとき、yの最小値、最大値が分かりますが、これは必要条件では考えているため、実際にその値をとる保証がないとかんがえました。
そこで、この考え方でなぜ最大値最小値を取る保証があると数学的に言えるのか教えていただきたいです。
回答
ガンジー さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。
『この置き換えをつかうと、必要条件となり』→なぜ必要条件と考えたのでしょうか？もう少しあなたの考えを説明してくれませんか？
もちろん、置き換えた時点で $-\sqrt{2}\leqq t \leqq \sqrt{2}$ も入りますよね。
質問の際はできるだけあなたがどこまでどのように考えているかも教えてください。
ひょっとしてt=sinx+cosx→sinxcosx=(t^2-1)/2という表現が「PならばQ]のように考えているのかな？
この→は「と置き換えると、sinxcosxは次のように書き換えられる」というだけなのことで、「ならば」を使った条件ではないです。
あなたのもう少し詳しい説明や、あなたの書いた答案など、写真でアップしてくれるといいのですが。
お待ちしています。ここでは会話型を目指しています。コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。
くさぼうぼうさん、回答ありがとうございます。初めてです。 t=sinx+cosxから、sinxcosx=(t^2-1)/2を導出する際に、両辺を二乗するため、必要条件になっていると考えました。
写真貼らせていただきました
う～む、やはりちょっと考え方が違うような。ｙ＝ｘとｙ²＝ｘ²の話と混同してはいけないのです。ここではサインとコサインの和の値をｔと置きますよ！から始まっています。両辺を2乗したところで、「サインとコサインの和をｔとしますよ」なので「サインとコサインの和がーｔ」にもなるのじゃないか、という考えは全く不要ですよ。回答に書いたとおり、あなたが使っている→や⇒は仮定と結論を結ぶ「ならば」ではないのです。「サイン＋コサインをｔで表わしたときにはサインとコサインの積はｔを使ってこう表わせます」といっているだけです。このような置き換えが不安なら、いっそ置き換えなしで「f(x)={(sinx+cosx)²ー1}/2+(sinx+cosx) ={(√2sin(x+π/4))²ー1}/2+(√2sin(x+π/4)) 」とやっていったっていいのです。 2乗したときに必要条件になってしまうということはとても大事なことなのですが、この問題の置き換えや、置き換えを2乗したものなどについては「条件」とは関係ない話だということを理解してください。 これで大丈夫ですか？
くさぼうぼうさん、丁寧な解答ありがとうございます。 長年もやもやしていた部分が分かりました！
お役に立ったのならよかったです。またどうぞ。