‪‪‪√‬2が無理数であることを証明せよ

またお世話になります。↑という問題で、背理法でまず‪√‬2＝p/q(有理数)とし、両辺を平方して分母を払って(＊)2q＝p²、pを2k(偶数)として(＊)に代入して両辺を2で割りq²＝2k²、よってpとqが偶数であるというのはわかります。 ただそれが"有理数( p/qで表せて、pとqが1以外の公約数をもたない正の整数(既約分数) )であることに反する"ゆえに矛盾していることになるらしいのですが、そこがわからなくて。 2/2や48/12も分子分母両方偶数だし1以外の公約数があるのに有理数なので、pもqも偶数だから有理数じゃない、つまり無理数だよね！は証拠が不十分に感じるのです。 2/2も48/12も約分してしまえば1/1、4/1で1以外の公約数が無くなるからノーカウントなのかな…でも48/12は有理数だしな…とグルグルしています。 すごくマヌケな質問をしている気はするのですが、自力での納得は無理でした、、、よろしくお願いします。

香 明 さん、こんばんは。 その証明の最初のところをよく見ると「ｐ、ｑは互いに素（＝1以外に公約数を持たない）」と書いてあると思います。 有理数は分数で表わせますが、たとえば$\dfrac{24}{36}$ とかではなく、約分できるなら約分しつくまで約分した結果の $\dfrac{2}{3}$ のような状態の分数を $\dfrac{p}{q}$ としていますよ。これが「ｐ、ｑは互いに素」ということの意味です。ここから議論が始まっています。（（＊）は書き間違いですね。２ｑ²＝ｐ²ですね。）ｐ、ｑは２４，３６のようなのではなく、２，３のような状態なのです。この後、数学的に正しい変形や計算や推論をしていったら、どうしてもｐとｑは偶数で、その結果 $\dfrac{p}{q}$ は２で約分ができてしまう（＝２という公約数を持つ）ことになりました。もう約分できない分数 $\dfrac{p}{q}$ が約分できるという結果になり、え！え？ということなんです。約分できない、という仮定から出発して、約分できるという結論が得られたのです。これはいくらなんでもおかしい結論で、仮定に矛盾した結果です。数学には矛盾が出ないはずなので、この推論（計算や推論自体は正しいことをやっている）以外のどこかに間違いがあるのだろう、と考えます。間違えている可能性があるのは「√2が有理数で、分数で表わせる」としたところしか見当たりません。よってこれが間違っていたのだと考えざるを得ず、よって√2は有理数ではないと結論されるのです。 これで大丈夫ですか？前回のように、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。