分母に文字がある場合の方程式の解

全く仮定の話で何かの問題集とかの話じゃなくて恐縮なのですが、ある状況を想定したら以下の式ができまして、、、 $$ \begin{aligned} \frac{10000}{x} + \frac{8000}{x-1} + \frac{6000}{x-2} + \frac{5000}{x-3} + \frac{3000}{x-4} + \frac{7500}{x-5} + \frac{2500}{x-10} = 100 \end{aligned} $$ これは手計算でどうにか解けるのでしょうか？ 分母に文字が含まれている場合は両辺に分母を掛けて分母を消していくのが基本だとは思いますが、全て通分したら途方もないことになってしまいますよね？ 大分忘れてしまっていますが、一応文系数学は一通りやってますし、入試にも使いましたのでその範囲であればなんとか理解できると思います。また、より高度な内容でも後学のためぜひ教えてほしいです!!

どのような状況を想定して得られた式なのかは気になりますが、そのような複雑な方程式では、手計算どころかコンピュータを利用しても厳密な解が得られるかどうかは疑わしいです。あなたの考察通り、両辺に分母をかけると、係数はともかく $7$ 次方程式($x^7$ を含む方程式)が得られます。一般に、$5$ 次以上の方程式では、解を四則演算や根号で表せないことがアーベル・ルフィニの定理として知られています。 仮に、$7$ 次方程式が試験で出題されたとしたら、うまく因数分解できたり因数定理が使えるように問題が調整されているため解法に困ることはありません。今回の方程式では、これらの解法が使えないため、コンピュータに近似解(厳密ではないが十分精度の良い解)を求めさせて妥協することが現実的です。 例えば Wolfram|Alpha というサイトでは「x について 10000/x+8000/(x-1)+6000/(x-2)+5000/(x-3)+3000/(x-4)+7500/(x-5)+2500/(x-10)=100 を解く」と入力すると $7$ つの近似解が得られます。$2$ 次方程式が重解を含めて $2$ つの解を持つように、$7$ 次方程式は $7$ つの解を持ちます。 Wolfram|Alpha の使用例: https://ja.wolframalpha.com/input?i=x+%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6+10000%2Fx%2B8000%2F%28x-1%29%2B6000%2F%28x-2%29%2B5000%2F%28x-3%29%2B3000%2F%28x-4%29%2B7500%2F%28x-5%29%2B2500%2F%28x-10%29%3D100+%E3%82%92%E8%A7%A3%E3%81%8F Wolfram|Alpha がどのような手法で近似解を算出しているかは不明ですが、近似計算の分野において広く知られた手法としては、二分法やニュートン法が挙げられます。これらの解法を手計算で行うには、あまりに計算が煩雑ですが、多くの方程式を扱うことができるため、コンピュータによる近似計算の分野では重要な役割を果たす手法です。 より深く学びたい場合は、「アーベル・ルフィニの定理」「二分法」「ニュートン法」といったキーワードで検索すると、多くの情報が見つかるとは思います。ただ、高校数学の知識だけでは、これらの内容はずっと高度で専門的に感じられるかもしれません。