不等式の証明

写真1枚目の問題についてです。 式自体は解けたのですが、等号が成り立つ時について、 x=y=z=0は分かるのですが、「x:y:z=1:5:3」というのがどの様に考えればこうなるのかが分かりません。 解説お願いいたします。 【写真】 1枚目→問題 2枚目→自身のノート 3枚目→解答

ひなた さん、こんにちは。 $(5x-y)^2,(3y-5z)^2,(z-3x)^2$ は、それぞれが０以上の数になりますね。で、和が０になるためには、この３つのそれぞれが０になるときしかありません。そのためには２乗する前のそれぞれが０になることと同じです。。 連立方程式 $5x-y=0,3y-5z=0,z-3x=0$ を解きます。解いてみてください。 $y=5x,z=3x$ を２番目の式に代入すると０＝０になってしまい、未知数が３つで有効な方程式が２個です。 こういう時はｘ、ｙ、ｚは１つの数には決まらず、関係しかわかりません。 ｘ：ｙ＝１：５、ｘ：ｚ＝１：３ですね。よってｘ：ｙ：ｚ＝１：５：３が得られます。 (x:y:z=x:5x:3x=1:5:3 でもいいですね） ただし、比例式では項が０の場合は使えませんので、ｘ＝０のとき、ｙ＝０、ｚ＝０なので別に答えています。 これで大丈夫ですか？ ついでに…別解ですが この不等式は、コーシー・シュワルツの不等式を使うと一発です。 コーシー・シュワルツの不等式やその証明については https://manabitimes.jp/math/573 を見てください。その他検索すれば動画なんかもたくさん出てきます。 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2$ というのがコーシー・シュワルツの不等式（の３次バージョン）と言われていて、ちゃんと証明を読んで納得していれば、答案で「コーシー・シュワルツの不等式より」とかいて使うことができます。そのくらい有名な不等式です。 この問題では$a=1,b=5,c=3$ の場合になっています。 答案では 「コーシー・シュワルツの不等式より $(1^2+5^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (1x+5y+3z)^2$ である。 よって $35(x^2+y^2+z^2)\geqq (1x+5y+3z)^2$ である。 等号が成立するは $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{3}$ のとき。(終わり)」 でおしまいです。 相加相乗平均の関係（不等式）なんかも無条件で使っているような感覚で使って大丈夫です。ちゃんと「コーシー・シュワルツの不等式より」と書けばね。