因数定理

こんばんは。因数定理について質問があります。 もし見当違いなことを言っていたらすみません。 例えば、$x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = 0$ という方程式は、$x = 1$ を代入すると等式が成り立つので、$x = 1$ は方程式の解と言えます。そして、$x = 1$ が解であるということは、この式を $(x - 1)Q(x) = 0$ の形に因数分解できる、つまり元の式を $x - 1$ で割ることで $Q(x)$ を求められる、というのが因数定理の内容だと理解しています。 その上で、チャートの問題を解いていたところ、「$x^3 + 4x^2 + x - 6$ を因数分解せよ」という問題が出てきました。このとき、$x = 1$ を代入すると 0 になるため、「$x - 1$ を因数に持つ」と解説されていました。 ここで疑問なのですが、先ほどの例では「方程式の解だから $(x - 1)$ を因数に持つ」と理解できたのに対し、今回のように方程式ではなく、単なる多項式 $x^3 + 4x^2 + x - 6$ に対して「$x = 1$ を代入して 0 になるから $x - 1$ が因数」と言うのが、少し腑に落ちていません。 等式ではないのに、なぜ $x = 1$ を代入して 0 になることから因数がわかるのでしょうか？ この点について教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。

YK さん、こんにちは。 なるほど。考えて疑問を持つことはいいことですね！ ずるい考え方では、「な～に、＝０をくっつけておいて方程式の問題だと思って、解ｘ＝１が見つかったんだから左辺が因数分解でき、＝０をなくして『方程式の左辺の式が因数分解されました！』と言えばいいのです！」という説明も可能です。ずるいというのは語弊がありますが、本筋は以下の通りです。 ある多項式P(x)を1次式(x-1)で割ったとき、商をQ(x)、余りをRとすればP(x)=(x-1)Q(x)+R…①と書くことができます。 このときP(1)=Rなので、剰余定理「多項式P(x)をx-1で割ったときの余りはP(1)です」が生まれました。 ここでたまたまP(1)=0となったとしたらR=０ですので、つまり割り切れたということになってP(x)=(x-1)Q(x)と表現され、「あ！P(x)は(x-1)という因数を持つ（因数定理）」となり、結果的にP(x)が因数分解できたということになりました。方程式は関係ありませんね。 ことの本質は①の式です！ これで大丈夫ですか？前のように、これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。