整数

（1）の解き方がわからないので教えていただきたいです。

髙木 忠 さん、こんにちは。 $m+1=2^q+2$ としましたか。 私は $m+1=2^p$ （ただしｐ＞ｑ）と置きました。 そのあと $2^p-2^q=2$ という式を作って、$2^q$ をくくりだして…とやっていったら、うまくいきましたよ。 私が全部書いちゃってもあなたの力にならないので、このあとやってみてください。 できたら見せてください。行き詰まったときも見せてください。 お待ちしています！

整数問題では、展開された式よりも因数分解された式の方が解法が見えやすい傾向があります。今回の問題では、$2$ 枚目の写真の $2^q(2^q+2)=2^n$ を展開する必要はありません。この式が成り立つとき、$2^q$ だけでなく $2^q+2$ も $2$ のべき乗です。$q$ が定まれば、それに対応して $n,m$ も定まるため、$2^q+2$ が $2$ のべき乗となる $q$ を全て求めれば、この問題は解けます。 $q$ にいくつかの整数を実験的に代入することで、条件を満たすものが見つかります。その後、それ以外の $q$ が条件を満たさないことを証明すればよいです。 $\textbf{\textsf{（追記: 2025年5月23日18:30）}}$ $m-1$ の素因数分解を $2^q$ とおいたのですから、$q$ は $0$ 以上の整数です。$q=0$ は代入してみれば分かります。$q>1$ のときは、$2^q+2=2(2^{q-1}+1)$ が偶数と奇数の積になっていることから $2$ のべき乗とならないことが分かります。