学校の課題で、自分が調べているバラ曲線・正葉曲線についての計算の過程で、証明ができません。証明のどこに間違いがあるか確認してください。

こんにちは。 タイトルにも書いたのですが、バラ曲線について学校の課題で研究をしています。 一つ目に添付した画像の左上の図の通り、バラ曲線（cos(nθ))のx軸側にある葉を回転させて、回転体の体積を求めようとしています。 他の計算方法（パップスギュルダンの定理などを使いました）で、「体積はnが整数の時に、π/6nになる」という結果が出ました（この時点で間違っている可能性もあります）。 その方法では答えが出ても、それを十分に証明することができなかったので、画像の方法を新たに使うことにしました。 ここで、私は、極座標を直交座標に直して計算するという過程を取りました。 ですが、数学的帰納法での証明に生きず待ってしまいました。 これを読んだ方で、助言や訂正、添削などをして下さる方がいればよろしくお願いします。 もっといい解法があるという場合でもよろしくお願いします。 （個人的には、証明内で、ｙの式に±が付くところと、sin(nθ), cos(nθ)の扱いに違和感を感じています）