整数に関する方程式

自分で試行錯誤してみたのですが、どのように解けばいいのかわかりませんでした。どう解くか教えて頂きたいです

$n$ を奇数と仮定して、矛盾を導く方針は適切だと思います。しかし、$9$ で割って $7$ 余るような平方数は存在しますので(例: $16$)、このままでは矛盾を導けません。$9$ ではない別の整数で割った余りを考えた方がよいです。 平方数を整数で割った余りに関しては https://mathematicsgarden.com/heihouamari/ に情報がまとまっています。$3$ や $4$ などの小さな整数で割って矛盾を導けないか試してみるとよいと思います。

髙木 忠 さん、こんばんは。 mod を使っていいのでしょうかね。その辺が心配なのですが。 mod3 やmod4はよく使いますよ。この問題ではmod3 では意味がなく、mod4でうまくいきます。 ｍ²をmod4で考えると、ｍ＝１，２，３，４，…にたいして１，０，１，０，…に合同となります。 3^n+7もmod4で考えると、ｎ＝１，２，３，４，…にたいして２，０，２，０，…に合同になります。 よって与式が成り立つにはｎが偶数（でｍももちろん偶数）の時しかありえません。よってｎは偶数。 合同式を使わないとしたら、 ①右辺は偶数だから左辺も偶数。よってｍが偶数で、ｍ²は4の倍数。 ②n=2kのときとn=2k+1の時に分けて考えます。 (i)n=2kのとき、$3^n=3^{2k}=9^k=(8+1)^k$ とし、$(8+1)^k$ を2項定理で展開すれば、最後の項以外は８が入り、最後の項は１になります。 最後以外を８でくくれば$(8+1)^k=8\times N+1$ よって $3^n+7=8\times N+1+7=8(N+1)$ これは４の倍数。 (ii)n=2k+1のとき、$3^n+7=3\cdot 9^k+7=3(8N+1)+7=4(6N+2)+2$ これは4の倍数ではない。 以上より、与式が成り立つのはｎが偶数の時に限る。 ｍ、ｎの組を求めるのは、ｎが偶数と決まったのだから $m^2=(3^k)^2+7$ と書け、移行して2乗引く２乗を因数分解し、後は積＝7より、ｍ、ｎは決まります。一組しかないみたい。 ところで、この問題の解答は持ってないのですか?整数問題はなかなかやっかいです。私は嫌いです(笑)。解答なしでは厳しいこともあるのでは? これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。。よろしく。