内接円の和の最大値について 角変数を導入して計算しようとしたのですが、上手く行きません。

半径1の円に内接する四角形ABCDを考え、ΔABCの内接円の半径をr1,ΔACDの内接円の半径をr2とする時、r1+r2の最大値を求めよ。という問題が解けなくて困っています。角変数を設定して計算しようとしたのですが、上手く行きませんでした。この問題が解ける方に解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。

☆問題を解くための方向性 変数の数を増やして、偏微分で極値を考える方法では、式が煩雑になり上手くいきません。複数の変数で表すことを考えず、問題を段階に分けて考えることで、高校数学までの範囲で解くことができます。問題を4つのStepに分けます。最初のStep1とStep2は、あなたが知っているなら読みとばしてください。 (Step1)△ABCの内接円の半径をr，外接円の半径をRとするとき，r = 4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2). 【証明】内接円の半径と面積の関係式から，S = r(a+b+c)/2.　…① 外接円の半径と面積の関係式から，S = (abc)/(4R).　…② 正弦定理から，a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC.　…③ ①，②，③から，rR(sinA+sinB+sinC) = 2R^2sinAsinBsinC. ∴r(sinA+sinB+sinC) = 2RsinAsinBsinC. 左辺を和と積の公式と倍角公式，右辺を倍角公式で式変形をすると， (左辺) = r{sinA+sinB+sin(π-A-B)} = r{sinA+sinB+sin(A+B)} = r{2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin((A+B)/2)cos((A+B)/2)} = r[2sin((A+B)/2){cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2)}] = r×2sin((A+B)/2)×2cos(A/2)cos(-B/2) = 4rsin((π-C)/2)cos(A/2)cos(B/2) = 4rcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).　…④ (右辺) = 2R×2sin(A/2)cos(A/2)×2sin(B/2)cos(B/2)×2sin(C/2)cos(C/2). = 16Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).　…⑤ ④，⑤から，r = 4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2). (Step2) 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = cosA+cosB+cosC-1. 【証明】和と積の公式と倍角公式で式変形すればよい。 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = 4sin(A/2)sin(B/2)sin((π-A-B)/2) = 2sin(A/2)sin(B/2)×2cos((A+B)/2) = -{cos((A+B)/2)-cos((A-B)/2)}×2cos((A+B)/2) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2cos((A+B)/2)cos((A+B)/2) = cosA+cosB-cos(A+B)-1 = cosA+cosB+cos(π-A-B)-1 = cosA+cosB+cosC-1. (Step3)円に内接する△ABCで，弦BCを固定する。このとき，内接円の半径rは，△ABCが二等辺三角形のとき最大である。 【証明】円周角の定理から，∠Aは定数になる。これを a とし，∠B= x とする。 Step1およびStep2から，r = cosa+cosx-cos(a+x)-1. f(x) = cosa+cosx-cos(a+x)-1 とし、f(x)の増減を考える。 f'(x) = -sinx+sin(a+x)より，f'((π-a)/2) = 0 だから，0<x<πで， f(x)はx=(π-a)/2のとき最大である。 これは△ABCが二等辺三角形のときである。 (Step4) r1+r2の最大値は 2√2-2 である。 【証明】与えられた四角形の対角線ACに対し，Step3より△ABCと△ACDは二等辺三角形になる。 そこで，ACに対し，∠B= x として，r1+r2の最大値を考える。 Step1およびStep2から， r1 = cosx+(cos(π-x)/2)+(cos(π-x)/2)-1 = cosx+2sin(x/2)-1. r1 = cos(π-x)+cos(x/2)+cos(x/2)-1 = -cosx+2cos(x/2)-1. ∴r1+r2 = 2sin(x/2)+2cos(x/2)-1. f(x) = 2sin(x/2)+2cos(x/2)-1とし、f(x)の増減を考える。 f'(x) = cos(x/2)-sin(x/2)より，f'(π/2) = 0 だから，0<x<πで， f(x)はx = π/2 のとき最大値 2√2-2 .