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直線の方程式
写真のハイライトした部分で、点(x1,y1)を通る直線が、
なぜy-y1 = m (x-x1)となるのかが分かりません。
mは傾きというところまでは、理解できました。
原点を通る直線y=mxを平行移動した直線？など考えてみましたがすっきりしません。。
お忙しいところ申し訳ありませんが、ご教示いただけますと幸いです。
回答
U S さん、こんにちは。
平行移動の式がわかっているのなら、それで理解するのが一番ですが。
「$y=f(x)$ のグラフをｘ方向にｐ、ｙ方向にqだけ平行移動したグラフの式は $y-q=f(x-p)$ である」
あなたが書いているように、ｙ＝ｍｘのグラフ上の原点を（ｘ１、ｙ１）まで動かしたと考えれば、ｘ方向へｘ１、ｙ方向へｙ１だけ平行移動と見ることができますから。
数Ⅰの教科書はお持ちですか？２①式がでてくる説明があるはずです。
地道にやるのなら、
点$(x_1,y_1)$ を通り、傾きがｍの直線を $y=mx+b$ と置く。
これが点$(x_1,y_1)$ を通るのだから代入して
$y_1=mx_1+b$
これより $b=y_1-mx_1$
よって求める直線の方程式は
$y=mx+(y_1-mx_1)$
変形すると
$y=mx-mx_1+y_1$
$y-y_1=m(x-x_1)$
となって、式が得られます。
理解できたら、この式は公式として覚えておくべきものですよ。
これで大丈夫ですか？
ありがとうございます。 理解できてるか不安点があります。 y=mx上の原点を(x1、y1)に移動する場合、 平行移動前の直線の式の原点は、(x-x1、y-y1)と表せるということですか？ これを平行移動前のy=mxの式に代入すると、 平行移動後の直線の式、y-y1=m(x-x1) が導出できる。 ということでしょうか？
う～む、ちょっと意味があいまいなところがあってはっきりしないですが、移動前の原点（０，０）は移動後には（ｘ１、ｙ１）に移動しますよ。あなたの(x-x1、y-y1)という書き方は変数ｘ、ｙを含んでいるのでよくわからないですが。 写真の下の方の黄色いところの前1行に使っているｘ、ｙは図の点Bの座標の一般として使っています。つまり、求めようとしている直線の上にある任意の点B(x,y)のｘ、ｙは$\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=m$ を満たしているから、その分母をはらった式も満たしている。これが求める式だという論理です。ちょっと分かりにくいですね。ｘ、ｙが定数のようだが変数になっちゃうので。
仰る通り、 分母を払った式でした。 納得しました。 いつもありがとうございます。
どういたしまして。またどうぞ。