数学的帰納法

ノートのところがわかりません。 よろしくお願いします！

百花さん、 なるほど、なにをやっているのかわかっていないようですね。これは数学的帰納法の原理がよくわかっていないからですので、大丈夫、なんとかしましょう。 すべての番号ｎについて、ある事柄が成り立つことを証明するとき、ｎ＝１のときの証明をし、ｎ＝２の時の証明をし、ｎ＝３の時の証明をし…とやって行ったって永久に証明が終わらないのは分かりますか？ ある番号ｎについて①が成り立つことは、実際に代入して計算すれば示せます。でもすべての番号ｎについての証明はできません。そこでうまい手を考えました。それが数学的帰納法です。 授業でも聞いたかもしれませんが、ドミノ倒しで、１番目を倒せばすべてのドミノが倒れるということを示すのに (i)2番目は倒れる (ii)ｋ≧２でｋ番目が倒れれば(k+1)番目も倒れる という2つのことが証明されれば、すべての番号ｎについて「ｎ番目のドミノは倒れる」ということは明らかだ、というのが数学的帰納法の考えです。 この考えのしっかり納得してほしいのです。どうですか？納得できますか？ (ii)がｋ≧５の時にしか証明できなければ３，４が倒れることが証明できていませんね。だから(ii)でｋ≧２という条件を付けます 質問①の回答：この問題はｎ≧２のときということが書いてあるのですよね。ｎ＝2からスタートです。ｎ＝１の時はどうでもいいらしいです（確かに成り立ちませんからね）。（普通はｎ＝１がスタートです。このように途中からというのは例外です。） で、あなたは□１でｎ＝２の時に成り立つことを示しました。2番目のドミノは倒れるんだということを示したのです。上の(i)にあたるところですよ。 □２で、(ii)のことをやっています。ｋ番目で成り立つことを仮定しました。ｋ番目のドミノが倒れることを仮定したのですね。 このときｋ＋１番目でも成り立つことが証明できました。ｋ番が倒れればｋ＋１番も倒れることを示したのです。 このように数学的帰納法では(i)(ii)の2段階で証明します。(i)がスタート時の証明で、(ii)がｋで成り立てばｋ＋１でも成り立つ証明です。この2つがそろって初めて「すべての番号ｎについて…」という命題が証明されたことになります。場合分けとはその2つのことですよ。 質問②の回答：もういいかな？「ｋ番でうまくいったと仮定してｋ＋１番もうまくいくことを証明する」というのが(ii)で、数学的帰納法による証明の一番大事なところです。なぜｋとｋ＋１を考えるか、それは全体の証明の中の大事なおぜん立てなのです。 質問③：「ｎ＝ｋ＋１のとき②の両辺に1/(k+1)²をたすと」というのはへんです。「②の両辺に1/(k+1)²をたして、左辺だけはｋ＋１の時を無理やり作りましたよ。」というのが正しいというか正直なところです。あとはこうやって無理やり作った「左辺だけはｋ＋１バージョンの式」の右辺が「ｋ＋１バージョンの右辺より小さいことを示せば、ｋ＋１バージョン全体が正しいことが証明できるぞ！ということで、無理やり作った $2-\dfrac{1}{k}+\dfarc{1}{(k+1)^2}$ とｋ＋１バージョンの正しい右辺 $2-\dfrac{1}{k+1}$ では前者の方が小さいぞ（引き算したら負になったぞ！）ということを示そうとして引き算していますよ。 これで大丈夫ですか？なかなか考えとしても難しいし、証明の書き方も形が決まっているので、何をやっているのかわからなくなりそうですよね。