3項間漸化式

（ 2）が途中で変になりました、、 どこで間違えてますか？ また、解答には階差数列を使うとあるのですがどういうことでしょうか？

百花さん、こんばんは。 あ、特性方程式を利用した変形が間違ってます。 特性方程式の解がα、βのとき、与えられた3項間漸化式は $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$ …①と $a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$ …②です。 なんか５がよけいですよ！ 多分そのあとの方針は大丈夫なんじゃないかと思います。続けてやってみてください。 さて、特性方程式の解にｘ＝１が出たときは、もっと楽に解けるのです。 α＝１とすると①は $a_{n+2}-a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-a_n)$ …③ になり、$a_{n+1}-a_n=b_n$ と置けば $b_{n+1}=\beta b_n$ という、階差数列が等比数列だ！！という意味の簡単な式になってしまい、②は必要なくなります。 これが「階差数列を使う」ということです。 特性方程式の解に１があったらこの手が使えるのです。 これで大丈夫ですか？