連立方程式の解と整数解

(x,y,z)=(-8.1.7)となったのですが、私の解き方の何が違うのでしょうか？正しい解き方を教えていただきたいです

髙木 忠 さん、こんばんは。 間違いがあります。 まず$x-y$ は０かもしれないのでそれで割ってはいけません。$(x-y)(x+y)=-z(x-y)$ より $x-y=0 $ または $x+y=-z$ という結論が出ます。つまり $x=y$ と $x+y+z=0$ ですから場合分けになります。 また②－③からは $y=zまたはx+y+z=0$ が得られますし、①－③では $x=zまたはx+y+z=0$ が得られます。以上より場合分けは (i)ｘ＝ｙ　(ii)ｙ＝ｚ　(iii)ｘ＝ｚ　(iv)ｘ＋ｙ＋ｚ＝０　の４つになります。 また、２枚目の写真の④’は間違ってます。 これらを参考にして、再度やってみてはどうでしょうか。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。行き詰まったら、そこまでのノートを見せてください。よろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記 ｘ＝ｙのとき、①よりｘ²＝ｘｚ＋７ ｘ（ｘ－ｚ）＝７ ｘ、ｘ－ｚともに整数だから（ｘ、ｘ－ｚ）＝（１，７）（７，１）（－１、－７）（－７、－１）のいずれか。 そのときあれこれやると（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１，１、－６）（７，７，６）（－１、－１，６）（－７、－７、－６） これらは①②は満たすが③を満たさず不適。 という具合です。なんとｙ＝ｚのときもｚ＝ｘの時も不適な解しか得られません。 残るはｘ＋ｙ＋ｚ＝０の時ですが、あなたが間違えた⑤？⑥？はｙ²＋ｙｚ＋ｚ²－７＝０になります。 この後はヒントとしては、これをｙの２次方程式と見て解の公式に当てはめます。ｙは整数ですからルートははずれるはずなので、判別式（ｚの式）は正で平方数になっているはず。そのようなｚをまず見つけます。４個見つかります。この先はなんとかなるかな？ なお、これが一番いい解法だとは言ってませんよ。もっといい方法があるのかもしれません。授業でしっかり聞いてください。