速さの問題

小学６年保護者です。写真の問題になります。 文字を使うやり方しか分からず。。 受験算数で解ける方法で教えていただけますでしょうか。 解答には（200×３＋300）÷２＝450　とあったのですが、 どのように説明すれば良いでしょうか。 お手数をおかけいたしますがよろしくお願いいたします。

purin さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 申し訳ないですが、まだ算数的な解き方がわかっていない状態です。 放っておくわけにもいかず、とりあえずお返事を書きます。 文字を使ってまず解いてみました。PQ間の距離をｘとして、AさんとBさんの速さの比は、１回目に出会うまでも２回目に出会うまでも同じだし、一定の時間では速さの比は距離の比と等しいので…という式を立てました。一般の形で解きたいので、２００＝a、３００＝ｂとして解きますよ。 （Aさんの距離）：（Bさんの距離）でいきます。 $a:(x-a)=(2x-b):(x+b)$ $(x-a)(2x-b)=a(x+b)$ $2x^2-(2a+b)x+ab=ax+ab$ $2x^2-(3a+b)x=0$ $x\ne 0$ なのでｘで割って $2x-(3a+b)=0$ $x=\dfrac{3a+b}{2}$ となりますので、たしかに (200×3+300)÷2 でPQ間の距離は求まります。 しかし、この解法は２次方程式ですので、これを算数化するのは至難です。 3a+b は同類項を集めた結果ですので、直接的には 3a+b には意味付けできません。 １次方程式や１次連立方程式で解けるものなら算数化できますが、２次方程式の解法は算数化できません。 申し訳ないですが、purin さんと同じところで止まっているのだと思います。 もうすこしがんばってみますし、他の方が回答してくれるかもしれません。 もうしばらくお待ちください。 もしその式での解法が分かりましたら、教えてほしいです。興味がありますので。 コメント欄になにか返事をいただければ幸いです。

$\mathrm{A}$ さんと $\mathrm{B}$ さんの二人の移動距離の合計に着目します。$1$ 回目の出会いまでには、二人はお互いに向かって進むため、合計移動距離は $\mathrm{PQ}$ 間の距離と等しいです。$2$ 回目の出会いまでには、$1$ 回目の出会いの後、二人はそれぞれの終点（$\mathrm{A}$ は $\mathrm{Q}$、$\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$）に向かって進み、折り返して $2$ 回目の出会いを迎えます。このとき、二人が進んだ合計移動距離は $\mathrm{PQ}$ 間の距離の $3$ 倍です。よって、$1$ 回目と $2$ 回目の出会いまでの合計移動距離の比は $1:3$ です。 ここで、二人の速さが一定であるため、移動距離の比と時間の比は等しいです。$1$ 回目と $2$ 回目の出会いまでの時間の比が $1:3$ であるため、それぞれの人が進んだ距離の比も $1:3$ です。$\mathrm{A}$ さんは $1$ 回目の出会いまでに $200 \ \mathrm{m}$ 進んだため、$2$ 回目の出会いまでに $200 \times 3 = 600 \ \mathrm{m}$ 進んだことが分かります。 $2$ 回目の出会いのとき、$\mathrm{A}$ さんの移動経路を考えると、$\mathrm{P}$ を出発し、$\mathrm{Q}$ に一度到達し、折り返して $\mathrm{P}$ に戻る途中です。そのため、$\mathrm{A}$ さんはあと $300 \ \mathrm{m}$ 進むことで、$\mathrm{PQ}$ 間を $1$ 往復することができます。つまり、$\mathrm{A}$ さんは $\mathrm{P}$ を出発して $600 + 300 = 900 \ \mathrm{m}$ 進むと $\mathrm{PQ}$ 間を $1$ 往復します。 $\mathrm{PQ}$ 間の距離は、その半分の距離であるため、$900 \div 2 = 450 \ \mathrm{m}$ です。 これらの計算をまとめて書くと、$(200 \times 3 + 300) \div 2 = 450$ という式が得られます。