場合の数の問題

8色の絵の具で正六面体の面の色をすべて異なる色で塗る塗り方は？という問題で、なぜ7×5P3　ではだめなんでしょうか。 固定のやり方で考えたんですが・・・7が底面の色の選び方で、そのあとに側面を円順列の固定のやり方で考えました。 色の選び方と塗り方を別々で考えてと先生に言われて、そのやり方の意味はわかったんですが、7×5P3　では答えが合わない理由がわかりません。

m nico さん、こんばんは。 $_5P_3$ がまずいです。 あなたのノートが見られないので（次回からはノートの写真もアップしてね)想像ですが…上、底を塗ってから、側面に1色塗って固定し、のこり5色のうちから3色選んで並べたのですね。その考えは「６色で６面を塗る」と気には使えますが… 上と底を塗った後、残りの色が４色なら、その４色は必ず使うので、１色を塗って固定して…という考えでできますが、今の場合は上下を塗った後まだ６色も残っています。ですから使わない色も出てくるわけで、「側面に１色塗って」といってもその１色を必ず使うとは限らないです。だからそういう進め方では正しい答えが出ませんよ。 上に塗る色だって、「赤を上に塗るとして」とは言えません。赤を使わない塗り方もあるからです。 ですから、まず８色中使う６色を選んでからでないと進めませんね。そのあとはあなたの考えでいけば大丈夫です。選んだ６色のうちの１色を決めて上に塗ったあと、次に底、さらに円順列で側面というふうにやって行きますよ。 これで大丈夫ですか？正解は持っているのですか？ コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 =================================== 追記　2025/07/23　17:00～ コメント拝見しました。 色をA,B,C,D,E,F,G,Hとしますよ。 まずあなたの考え方では上の面に何色かを塗りますね。たとえばA色とします。そのあとで、残りの色について考えています。そうなると、A色を使わない塗り方は数えられていません。じゃ、入目に塗る上の色は８通りあるから８×…でいけるかというと、それも無理なんです。次に底を塗りますね。×７します。でも底をB色にしたときの場合は、「上にA色を塗って底にB色を塗る」場合と「上にB色を塗って底にA色を塗る」場合とダブって数えてしまいます。円順列の方でも残った6色のうちC色を塗った位置を固定し残った５色で…という考えの式ですが、これもC色を使わない塗り方もあるので、そのような考えではうまくいきません。 これで大丈夫ですか？