ヤコビアンとラプラシアンの関係について

現在高専の4年生です。 画像の問いについて、行列式を計算して第2次偏導関数を求めることで答えを出すことはできました。 しかし、問題の意図を汲み取れていない気がしてなりません。 uをわざわざ行列式の形で書いているということは、転置してヤコビアンの形として見るということなのでしょうか。 はたまた、x,y,zについての1つのベクトル(1,t,t^2)に帰着するということがラプラシアンに何か関係しているのでしょうか。 ラプラシアンとヤコビアン,ベクトルの関係について、お優しい方、教えていただければ幸いです。 よろしくお願いします。