係数が文字の数列

漸化式の数列の係数が文字になっているものは、項のナンバーを一つずつ下げて a(1)を利用するよう習いました。上2行が問題式で、これから一般項 a(n)を求めたら間違いでした。どこでミスったのかお教えくださると有り難いです。

ウルトラ セブン さん、こんにちは。 写真の上から4行目はいいですが、そこから5行目にはなりませんね。初めの漸化式に＋２がなければ、 $(n+2)(n+1)a_{n+1}=(n+1)na_n=n(n-1)a_{n-1}=\cdots =2\cdot 1a_1$ とか変形できますが、ここではうしろに $+2(n+1)$ がくっついているので、そう簡単にはいきません。 $(n+2)(n+1)a_{n+1}=(n+1)na_n+2(n+1)=\{n(n-1)a_{n-1}+2n\}+2(n+1)=\cdots =$ がんばればいけそうな気もしますが、いずれにしても5行目は違いますね。 「項のナンバーを一つずつ下げて a(1)を利用する」という定石はあるのですが、いつでもつかえるわけではありません。 この問題では $(n+2)(n+1)a_{n+1}=(n+1)na_n+2(n+1)$ を作った時点で、 $(n+1)na_n=b_n$ と置き換えて、$b_n$ についての漸化式を作って解きますよ。 $b_{n+1}=b_n+2(n+1)$ です。 これなら移項して $b_{n+1}-b_n=2(n+1)$ という$\{b_n\}$ についての階差数列 $\{c_n\}$ が現れ、すぐ解けそうです。 これでやってみては？ この問題、解説は持ってないのですか？また、答だけは分かっている時はそれも教えてください。こちらの検算ができますので自信を持って答えることができますので。よろしく。