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互いに素であることの証明

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月11日0:08）
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    （1）です ２つの？の部分で矢印の先へどうつながっているのかわかりません 整数で特に互いに素であることの証明が1番苦手なので、噛み砕いて教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月11日8:02）
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    忠さん、おはようございます。 「互いに素」の定義をしっかり頭に入れましょう。 a、ｂが互いに素である↔a、ｂの最大公約数が１ a、ｂが互いに素である↔１以外の公約数を持たない ですから、 a、ｂの最大公約数がｎ（ｎ≠１）↔a、ｂは互いに素ではない a、ｂがともに１ではない整数ｎで割り切れる↔a、ｂは互いに素ではない a、ｂがともに整数ｐの倍数↔a、ｂは互いに素ではない です。 したがって a、ｂが互いに素ではない↔a、ｂは１以外の共通の因数を持つ a、ｂが互いに素ではない↔a、ｂは共通な素因数を持つ なのです。 初めの矢印… ｍとｍ－ｎが互いに素ではない →ｍとｍ－ｎは共通な素因数を持つ→それをｐ（≠１）とする。 →ｍとｍ－ｎはｐの倍数 →ｍ＝Ap、ｍ－ｎ＝Bpと書ける。（A、Bは整数） 2番目の矢印… ｍとｎが1より大きい公約数ｐを持つ →ｍとｎの最大公約数は１ではない →ｍとｎは互いに素ではない これは仮定に矛盾する というふうになっていますよ。 これで大丈夫ですか？
    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月12日10:26）
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    返信遅れてごめんなさい💦 ご丁寧にありがとうこざいます！ よくわかりました！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月12日11:22）
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    それならよかったです。またどうぞ！

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月12日13:15）
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    すみません、確認なのですが、この問題は対偶が真であることから証明されていますか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月12日14:39）
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    いえ、背理法ですね。ご存じですか？ ～ではないと仮定する→すると矛盾が出てきてしまった→ということは「～ではないと仮定」したのが間違っていたんだ！ よって～であることが証明できた！！ という筋道です。 わかりますか？

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月12日16:50）
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    以下のような理解であっていますか？ m、m－n(m>n) が互いに素でないと仮定する →m、nが互いに素であることに反する(←これはここで言う矛盾ですか？) → m、m－n(m>n) が互いに素でないという仮定が間違っていた →よってm、m－nが互いに素であることが証明できた

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月12日16:53）
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    背理法はなんとなくでしか理解できていません💦ごめんなさい🙏

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月12日17:14）
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    はい、その筋道の論理でいいです。 背理法は、√2が無理数であることの証明で初めて使ったと思います。 「ごめんなさい」なんてとんでもないです。 そんなことを私に言う必要はまったくないです！ 分からないことはどんどん質問してください。 がんばってください。

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月13日13:12）
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    ありがとうございます！助かります🥹 追加で教えていただきたいのですが、 m、m－n(m>n) が互いに素でないときm、nは互いに素でないものなのですか？どうして矛盾と言えるのかよくわからなくて…

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月13日15:49）
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    あ、ちょっと誤解してます。「m,nが互いに素であって、しかもm,m-nが互いに素ではないことがあった、と仮定する」ことから議論を始めていますよ。そうしたら「m,nは互いに素ではないはずだ」、という結論が出てきてしまったので「これはm,nが互いに素であった」ことに矛盾することが導かれてしまった。だから「m,nが互いに素であって、しかもm,m-nが互いに素ではないことがあった」という仮定が間違っていたんだ！「m,nが互いに素であって、しかもm,m-nが互いに素ではないことはあるはずはない」「m,nが互いに素であれば、必ずm,m-nも互いに素」なのだ！という議論なんです。わかりますか？むずかしいかな？

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月14日14:19）
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    ご丁寧にありがとうございます！！ よくわかりました！！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月14日14:32）
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    ほんと？大丈夫？ https://study-line.com/hairihou-shomei/ などをのぞいてみてくださいね。

    髙木 忠 (id: 3697) （2025年8月16日15:06）
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    ありがとうございます！！のぞいてみます！！

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