数列

❓をつけたところの式の変形がわかりません。教えていただきたいです。よろしくお願いします。

関 綾菜 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 なるほど、解説としてはちょっと不親切ですね。 $2^n+3^n<10^{10}\leqq 2^{n+1}+3^{n+1}$ で、 左辺については $3^n<2^n+3^n<10^{10}$ というふうに２のｎ乗をなくしたらもっと小さくなるぞと言っています。 右辺については $10^{10}\leqq 2^{n+1}+3^{n+1}<3^{n+1}+3^{n+1}=2\cdot 3^{n+1}$ と考えました。$2^{n+1}$ を、それより大きい $3^{n+1}$ に置き換えたらもっと大きくなるぞと言っているのですね。 ここはあくまでも必要条件なので、適当になくしたり取り換えたりしています。これで十分条件になるのかまでは考えていないですよ。その後の計算でうまくｎが定まってくれれば「よかったよかった！」となりますが、問題によってはこのような比較では定まらないことだってあります。「答案を作るときは、あれこれ試行錯誤をしなければならないかもしれません。「なぜこんな変形を思いつくんだろう？」と思うかもしれませんが、この解答を書いた人も、初めからこのような変形ができたのかどうかは分からないですよ。結果的にうまくいった変形だけを模範解答として挙げていますからね。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。納得いくまで何回でもおつきあいしますよ。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。