漸化式

連投ごめんなさい🙇‍♀️ 黄色いマーカーで引かれているところがわかりません どこからα(n＋1)＋βの発想が出てくるのですか？

忠さん、こんにちは。 それはもう一つのテクニックとしか言いようがありません。 ｎを含んだ元の漸化式を何とかして $a_{n+1}+f(n+1)=p(a_n+f(n))$…① の形にできれば $a_n+f(n)$ を $b_n$ と置き換えてやって、①が $b_{n+1}=pb_n$ という等比数列の漸化式にすることができるのです。 ですから、ｎの1次式がくっついている時はf(n)をｎの1次式として 全く分かっていないαｎ＋βという1次式にしておいて、元に戻したらｎになるようなα、βを求めようというのです。 以上がそのやり方の発想です。わかりますか？ ただ、私はそのやり方よりも階差数列を作るやり方の方をお勧めしていますよ。 よけいにくっついているｎの式が1次式なら1回で。2次式なら2回階差数列を作れば自然に解けます。 その解答のような強引なやり方、というか天下り的なやり方ではないです。 以下、書きますので読んでみて下さい。 $a_{n+1}=2a_n+n$ …① ひとつ番号をあげて $a_{n+2}=2a_{n+1}+(n+1)$ …② ②－① $a_{n+2}-a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+(n+1)-n$ $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+1$…③ $a_n$ の階差数列を$b_n$ と置くと、③は $b_{n+1}=2b_n+1$ …④ これでよけいなｎの式がない漸化式にすることができます。 ④は特性方程式を用いて解けますか？ $b_n$ が求まったら、階差数列から元の数列を求めるやり方で$a_n$ が求まります。 このやり方は、新しい考え方は使いませんが、計算量は増えます。 ま、どちらでもお好きな方でやってみてください。無理には勧めませんが（笑）。 これで大丈夫ですか？ ま、