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青チャート 無限級数
いつもお世話になっております質問は写真に書きました。よろしくお願いいたします。
回答
h k さん、こんにちは。
重要例題４４…$\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ はたしかに０に収束しますが、その前にｎがかけてあり、ｎは無限大に発散するので、そのまま では$n\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ の極限は論じられませんよ。無限大×０は不定形です。極限が収束する場合もあるし発散する場合もありますので、さらにていねいに見ないと結論は出せません。
重要例題４６…もし$x_n$ や $y_n$ が収束するのであれば、
$x_n^2$ や $y_n^2$ も収束し、
$\lim_{n\to\infty}(x_n^2+y_n^2)$
$=\lim_{n\to\infty}x_n^2+\lim_{n\to\infty}y_n^2$
が成り立ちます。
したがって$=\lim_{n\to\infty}x_n^2=0,\lim_{n\to\infty}y_n^2=0$ かつ
$\lim_{n\to\infty}(x_n^2+y_n^2)\ne 0$
ということはおこりませんよ。ですから心配しません。
解答の5行目の「のとき」は必要十分条件としてつながります。
重要例題５４…ｔ＝ｘ－∞というような置き換えはできません。無限大は数ではなく状態です。
これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。
なお、「質問」のページにも書いてあるように（読みましたか？）質問はそれぞれ別に立ててください。答える方が大変なのです（笑）。３ついっぺんに質問されたら、３つが終わらない限り回答が書けませんのでね。また、写真の解像度が低い、というか、問題集の方の活字は細かいので、問題集１ページで写真１枚にしてくれませんか？判読できない部分もあるのでね。指数とか添字の番号とかでｎ＋１なのかｎ－１なのか読めなかったり。
以上、よろしく。
（追記: 2025年8月18日20:37）
コメント拝見。
$x_n^2\geqq 0,y_n^2\geqq 0$ ですので、$x_n^2+y_n^2\to 0$ なら $x_n^2\to 0,y_n^2\to 0$ でないと無理ですので、$x_n\to 0,y_n\to 0$ とならざるを得ないですね。$x_n^3+y_n^3\to 0$ だったら$x_n\to 0,y_n\to 0$ とは言えませんが。
ご迷惑おかけして申し訳ありませんでした。次からは、質問させていただきます。重要例題46なのですが、n 「x nや ynが収束するのであれば」と言う条件の中でしかお互いを2乗したものの、極限が収束する条件が成り立つので、Xn ynが収束する条件で用いて良いのでしょうか？何度もすいません。よろしくお願いいたします。
例題44と54は解決しました。ありがとうございました。
コメントの文章のワンセンテンスが長すぎて意味が取れません。句読点の位置がそこだと意味が取れないので、もう一度短いセンテンスにわけて、論理的に書いてくれませんか？
「xn,ynが0に収束する→Xn二乗＋yn二乗が0に収束する」は成り立ちますが 「Xn二乗＋yn二乗が0に収束する→ xn,ynが0に収束する」は成り立たないのではないかと言うことです。 日本語が変ですみません。
なるほど、解決しました
それならよかったです。